@author: ZZQ
@software: PyCharm
@file: leetcode53_最大子序和.py
@time: 2018/11/26 12:39
要求：给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
示例:
输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
方法如下：
方法一：暴力遍历法——O(n2)
class Solution():
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
nums_len = len(nums)
if nums_len == 0:
return 0
if nums_len == 1:
return nums[0]
max_value = nums[0]
for i in range(nums_len):
temp_max = 0
for j in range(i, nums_len):
temp_max += nums[j] # 大量的重复运算，拖慢速度
max_value = max(max_value, temp_max)
return max_value
方法二：基于方法一避免大量的重复运算 ——O(n2)
class Solution():
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
nums_len = len(nums)
temp_sum = [0]*(nums_len+1)
if nums_len == 0:
return 0
if nums_len == 1:
return nums[0]
max_value = nums[0]
for i in range(nums_len): # 基于方法一，避免大量的重复运算
temp_sum[i] = temp_sum[i-1] + nums[i]
for i in range(nums_len):
for j in range(i, nums_len):
temp_max = temp_sum[j] - temp_sum[i-1]
max_value = max(max_value, temp_max)
return max_value
方法三：分治法——O(nlogn)
将求长度为n的序列中的最大子序和华为分求两个长度为n/2的序列的最大子序和
将当前需要计算最大子串的序列分为两半，
前半段从后往前遍历求最大子串lmax，
后半段从前往后遍历求最大子串rmax，
lmax+rmax就是当前长度为n的序列的最大子串，
然后递归去找长度为n/2的序列的最大子串和，不断求小的序列的子串和。
最后进行比较，得出最大值就是所求结果。
class Solution():
def maxSubArray3(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
nums_len = len(nums)
if nums_len == 0:
return 0
left = 0
right = nums_len - 1
ans = self.maxSubArrayCompute(nums, left, right)
return ans
def maxSubArrayCompute(self, nums, left, right):
"""
:type nums: List[int]
:type left: int
:type right: int
:rtype: int
"""
if left > right:
return 0
if left == right:
return nums[left]
middle = (left + right)/2
left_max = self.maxSubArrayCompute(nums, left, middle)
right_max = self.maxSubArrayCompute(nums, middle+1, right)
lmax = nums[middle]
left_sum = nums[middle]
# 保证求得到子序列是连续的（也就是lmax + rmax是一个连续子序列的和）
for i in range(middle-1, left-1, -1): # 前半段逆序加(range(left,right,-1)表示逆序遍历)
left_sum += nums[i]
lmax = max(lmax, left_sum)
rmax = nums[middle+1]
right_sum = nums[middle+1]
for i in range(middle+2, right+1): # 后半段顺序加
right_sum += nums[i]
rmax = max(rmax, right_sum)
return max(rmax+lmax, max(left_max, right_max))
方法四：扫描法——O(n)
当我们加上一个正数时，和会增加；
当我们加上一个负数时，和会减少。
如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃并重新清零，不然的话这个负数将会减少接下来的和。
class Solution():
def maxSubArray(self, nums):
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
nums_len = len(nums)
current = nums[0]
nums_sum = nums[0]
# 我们考虑如果全是负数，那么返回最大的负数，如果最后的和为正，那么就使用扫描法
for i in range(1, nums_len):
if current < 0:
current = nums[i] # 当前数小于0 肯定会舍去（否则将会影响接下来的和），换为下一个数
else:
current += nums[i] # 如果当前数不小于0，那么他会对接下来的和有积极影响
if current > nums_sum:
nums_sum = current # 这里既实现了负数返回最大也实现了扫描法
#这里其实已经隐式的列举了所有可能，保留了所有可能的最大值
return nums_sum
方法五：动态规划——O(n)
假设sum[i]为以i结尾的连续子串的和. 假设对于元素i，所有以它前面的元素结尾的子串和都已经求得，
那么以第i个元素结尾且和最大的连续子串实际上，
1）要么是以第i-1个元素结尾且和最大的连续子数组加上这个元素，
2）要么只是第i个元素，即sum[i]
所以当前的最大连续子串和的计算方法是max(sum[i-1]+nums[i], nums[i])
这就是需要我们判断sum[i-1]是否大于0。
由于每次运算只需要前一次的结果，因此算法的时间和空间复杂度都很小。
class Solution():
def maxSubArray5(self, nums): # 动态规划
"""
:type nums: List[int]
:rtype: int
"""
nums_len = len(nums)
if nums_len == 0:
return 0
if nums_len == 1:
return nums[0]
nums_sum = nums[0]
pre = nums[0]
for i in range(1, nums_len):
if pre > 0:
pre += nums[i]
else:
pre = nums[i]
nums_sum = max(nums_sum, pre)
return nums_sum