CCF 201703-4 地铁修建
问题描述
A市有n个交通枢纽,其中1号和n号非常重要,为了加强运输能力,A市决定在1号到n号枢纽间修建一条地铁。
地铁由很多段隧道组成,每段隧道连接两个交通枢纽。经过勘探,有m段隧道作为候选,两个交通枢纽之间最多只有一条候选的隧道,没有隧道两端连接着同一个交通枢纽。
现在有n家隧道施工的公司,每段候选的隧道只能由一个公司施工,每家公司施工需要的天数一致。而每家公司最多只能修建一条候选隧道。所有公司同时开始施工。
作为项目负责人,你获得了候选隧道的信息,现在你可以按自己的想法选择一部分隧道进行施工,请问修建整条地铁最少需要多少天。
地铁由很多段隧道组成,每段隧道连接两个交通枢纽。经过勘探,有m段隧道作为候选,两个交通枢纽之间最多只有一条候选的隧道,没有隧道两端连接着同一个交通枢纽。
现在有n家隧道施工的公司,每段候选的隧道只能由一个公司施工,每家公司施工需要的天数一致。而每家公司最多只能修建一条候选隧道。所有公司同时开始施工。
作为项目负责人,你获得了候选隧道的信息,现在你可以按自己的想法选择一部分隧道进行施工,请问修建整条地铁最少需要多少天。
输入格式
输入的第一行包含两个整数
n,
m,用一个空格分隔,分别表示交通枢纽的数量和候选隧道的数量。
第2行到第 m+1行,每行包含三个整数 a, b, c,表示枢纽 a和枢纽 b之间可以修建一条隧道,需要的时间为 c天。
第2行到第 m+1行,每行包含三个整数 a, b, c,表示枢纽 a和枢纽 b之间可以修建一条隧道,需要的时间为 c天。
输出格式
输出一个整数,修建整条地铁线路最少需要的天数。
样例输入
6 6
1 2 4
2 3 4
3 6 7
1 4 2
4 5 5
5 6 6
1 2 4
2 3 4
3 6 7
1 4 2
4 5 5
5 6 6
样例输出
6
样例说明
可以修建的线路有两种。
第一种经过的枢纽依次为1, 2, 3, 6,所需要的时间分别是4, 4, 7,则整条地铁线需要7天修完;
第二种经过的枢纽依次为1, 4, 5, 6,所需要的时间分别是2, 5, 6,则整条地铁线需要6天修完。
第二种方案所用的天数更少。
第一种经过的枢纽依次为1, 2, 3, 6,所需要的时间分别是4, 4, 7,则整条地铁线需要7天修完;
第二种经过的枢纽依次为1, 4, 5, 6,所需要的时间分别是2, 5, 6,则整条地铁线需要6天修完。
第二种方案所用的天数更少。
评测用例规模与约定
对于20%的评测用例,1 ≤
n ≤ 10,1 ≤
m ≤ 20;
对于40%的评测用例,1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ m ≤ 1000;
对于60%的评测用例,1 ≤ n ≤ 1000,1 ≤ m ≤ 10000,1 ≤ c ≤ 1000;
对于80%的评测用例,1 ≤ n ≤ 10000,1 ≤ m ≤ 100000;
对于100%的评测用例,1 ≤ n ≤ 100000,1 ≤ m ≤ 200000,1 ≤ a, b ≤ n,1 ≤ c ≤ 1000000。
所有评测用例保证在所有候选隧道都修通时1号枢纽可以通过隧道到达其他所有枢纽。
对于40%的评测用例,1 ≤ n ≤ 100,1 ≤ m ≤ 1000;
对于60%的评测用例,1 ≤ n ≤ 1000,1 ≤ m ≤ 10000,1 ≤ c ≤ 1000;
对于80%的评测用例,1 ≤ n ≤ 10000,1 ≤ m ≤ 100000;
对于100%的评测用例,1 ≤ n ≤ 100000,1 ≤ m ≤ 200000,1 ≤ a, b ≤ n,1 ≤ c ≤ 1000000。
所有评测用例保证在所有候选隧道都修通时1号枢纽可以通过隧道到达其他所有枢纽。
【题意】
求“
修建整条地铁线路最少需要的天数”,即求解
从起点到终点这条路径下各个连通节点之间的最长边。
【类型】
Dijkstra算法变形
【分析】
可套用Dijkstra算法,只不过将松弛操作改为最长边。本题中我们用Dijkstra算法不是要得到最短路径,而是要得到从起点到终点这条路径下各个连通节点之间的最长边。
Dijkstra算法变形
【分析】
可套用Dijkstra算法,只不过将松弛操作改为最长边。本题中我们用Dijkstra算法不是要得到最短路径,而是要得到从起点到终点这条路径下各个连通节点之间的最长边。
将松弛操作改为最长边的代码:
if(d[e.to]>max(d[u],e.dist)){ //更改松弛策略为求最长的边,而不是求边的和 d[e.to]=max(d[u],e.dist);
q.push(HeapNode(d[e.to],e.to));//添加节点y
}
【注意】
1、切记:nmax节点数量的最大值要记得改!!!本题中n的最大值为10000,十万啊!
做上一个CCF 201609-4 交通规划的时候n的最大值为10000,一万,这次又多了个0 ,为十万!
提交了好多次才发现这个问题!不然一直得80分运行错误!
【时间复杂度&&优化】
O(nlog n)
#include <iostream>#include <queue>#include <vector>#include <cstring>#include <cstdio>#include <climits>const int nmax=100000+100;//#define INF 1e8const int INF=INT_MAX;int n,m;using namespace std;struct HeapNode{ int d,u;//d为s到各个节点的距离,u为起点 HeapNode(){} HeapNode(int d,int u):d(d),u(u){} bool operator <(const HeapNode &rhs)const{//自定义greater算子,优先输出d小的节点 return d>rhs.d; }};struct Edge{ int from,to,dist; Edge(){} Edge(int f,int t,int d):from(f),to(t),dist(d){}};struct Dijkstra{ int n,m; //n为点数,m为边数 vector<Edge> edges;//边列表,存储各边的编号 vector<int>G[nmax];//邻接表,存储每个节点出发的边编号(从0开始编号),G[u][i]为起点u到节点i的边的编号 bool done[nmax];//是否已永久标号 int d[nmax];//源点s到各个节点的距离,id[i]为源点s到节点i的距离 int p[nmax];//最短路中的上一条弧,p[i]为源点s到节点i的最短路中的最后一条边的编号 Dijkstra(){} //记得写个空的构造函数,要不然DJ会报错 void init(int n){ this->n=n; for(int i=0;i<n;i++){ G[i].clear();//清空邻接表 } edges.clear();//清空边列表 } void AddEdge(int from,int to,int dist){//如果是无向图,每条无向边调用两次AddEdge edges.push_back(Edge(from,to,dist));//边列表增加一条边 m=edges.size();//边列表中有几条边 G[from].push_back(m-1);//邻接表中的节点数目(下标从0开始) } void dijkstra(int s){//求源点0到其他节点的最短路径 for(int i=0;i<n;i++) { d[i]=INF; } d[s]=0;//记得源点从0开始,不是1开始 //本题中,源点为节点0 memset(done,0, sizeof(done)); priority_queue<HeapNode>q; q.push(HeapNode(d[s],0));//本题中优先队列初始化的节点为HeapNode(d[0],0) while(!q.empty()){ //在所有未标号的节点中,选出d值最小的节点 HeapNode x=q.top();//找到d值最大的节点 q.pop();//弹出队头 int u=x.u;//得到d值最大的节点的起点 //给节点x标记 if(done[u]) continue; //如果当前节点已经标号,则continue done[u]=1; //若未标号,则标记 //遍历从x出发的所有边(x,y),更新d[y]=min{d[y],d[x]+w[x,y]} for(int i=0;i<G[u].size();i++){ Edge& e=edges[G[u][i]];//得到从u起点出发到i节点的一条边e if(d[e.to]>max(d[u],e.dist)){ //更改松弛策略为求最长的边,而不是求边的和 d[e.to]=max(d[u],e.dist); q.push(HeapNode(d[e.to],e.to));//添加节点y } } } }}DJ;int main() { while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){//输入节点数 DJ.init(n);//切记要初始化,清空边列表和邻接表 while(m--) { int u,v,d; scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);//输入节点是从1开始的 u--;v--;//记得把输入节点调整成0开始的 DJ.AddEdge(u,v,d); DJ.AddEdge(v,u,d); } DJ.dijkstra(0); printf("%d\n",DJ.d[n-1]);//得到节点0到节点n-1的路径上的最长边 } return 0;}