最小圆覆盖算法

算法目的：最小圆覆盖算法可以在线性时间复杂度内求出覆盖n个点的最小圆

算法步骤：
     ①首先现将所有点随机排列

     ②按顺序把点一个一个的加入（一步一步的求前i个点的最小覆盖圆），每加入一个点就进入③

     ③如果发现当前i号点在当前的最小圆的外面，那么说明点i一定在前i个点的最小覆盖圆边界上，我们转到④来进一步确定这个圆，否则前i个点的最小覆盖圆与前i-1个点的最小覆盖圆是一样的，则不需要更新，返回②

     ④此时已经确认点i一定在前i个点的最小覆盖圆的边界上了，那么我们可以把当前圆的圆心设为第i个点，半径为0，然后重新把前i-1个点加入这个圆中（类似上面的步骤，只不过这次我们提前确定了点i在圆上，目的是一步一步求出包含点i的前j个点的最小覆盖圆），每加入一个点就进入⑤

     ⑤如果发现当前j号点在当前的最小圆的外面，那么说明点j也一定在前j个点（包括i）的最小覆盖圆边界上，我们转到⑥来再进一步确定这个圆，否则前j个点（包括i）的最小覆盖圆与前i-1个点（包括i）的最小覆盖圆是一样的，则不需要更新，返回④

     ⑥此时已经确认点i，j一定在前j个点（包括i）的最小覆盖圆的边界上了，那么我们可以把当前圆的圆心设为第i个点与第j的点连线的中点，半径为到这两个点的距离（就是找一个覆盖这两个点的最小圆），然后重新把前j-1个点加入这个圆中（还是类似上面的步骤，只不过这次我们提前确定了两个点在圆上，目的是求出包含点i，j的前k个点的最小覆盖圆），每加入一个点就进入⑦

     ⑦如果发现当前k号点在当前的最小圆的外面，那么说明点k也一定在前k个点（包括i，j）的最小覆盖圆边界上，我们不需要再进一步确定这个圆了（因为三个点能确定一个圆！），直接求出这三点共圆，否则前k个点（包括i，j）的最小覆盖圆与前k-1个点（包括i，j）的最小覆盖圆是一样的，则不需要更新。

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)

复杂度证明：空间复杂度显然，下面来证时间复杂度

      首先，因为我们已经将点打乱顺序，所以我们可以认为点是随机生成的

      我们知道，当点完全随机时，第i个点在前i-1个点的最小覆盖圆外的几率是3/i

             证明：我们先随机生成i个点，求出他们的最小覆盖圆，我们可以认为这个圆是由现在在边界上的那三个点来确定的，也就是说当随机生成的最后一个点不是那三个点时，新生成的点就在圆内，否则在圆外，所以第i个点在前i-1个点的最小覆盖圆外的概率只有3/i

      所以 O(②)=∑i=1i≤n(i−3i∗O(1)+3i∗O(④))

      而 O(④)=∑i=1i≤n(i−3i∗O(1)+3i∗O(⑥))

      易知 O(⑥)=O(N)

      所以可以推出，这个做法是线性的

注意事项:
以上时间复杂度的证明全部基于点的排列随机，如果点的排列不随机，那么时间复杂度将有可能达到 O(N3)
所以最小圆覆盖算法只能在O(N)时间内求出N的点的最小覆盖圆，而不能在O(N)的时间内求出所有的前i个点的最小覆盖圆

下面是一段给定n个点求最小覆盖圆圆心及半径的代码(BZOJ1336/1337)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 100010
using namespace std;
struct node{double x,y;}b[N];
node O;
double R;
double sqr(double x){return x*x;}
double dis(node x,node y)
{
return sqrt(sqr(x.x-y.x)+sqr(x.y-y.y));
}
bool incircle(node x)
{
if(dis(O,x)<=R) return true;
return false;
}
node solve(double a,double b,double c,double d,double e,double f)
{
    double y=(f*a-c*d)/(b*d-e*a);
    double x=(f*b-c*e)/(a*e-b*d);
return (node){x,y};
}
int main()
{
int n;
    scanf("%d",&n);
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
    scanf("%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y);
    random_shuffle(b+1,b+n+1);
    R=0;
for(i=1;i<=n;i++)
if(!incircle(b[i]))
    {
        O.x=b[i].x;O.y=b[i].y;R=0;
for(j=1;j<i;j++)
if(!incircle(b[j]))
        {
            O.x=(b[i].x+b[j].x)/2;
            O.y=(b[i].y+b[j].y)/2;
            R=dis(O,b[i]);
for(k=1;k<j;k++)
if(!incircle(b[k]))
            {
                O=solve(
                b[i].x-b[j].x,b[i].y-b[j].y,(sqr(b[j].x)+sqr(b[j].y)-sqr(b[i].x)-sqr(b[i].y))/2,
                b[i].x-b[k].x,b[i].y-b[k].y,(sqr(b[k].x)+sqr(b[k].y)-sqr(b[i].x)-sqr(b[i].y))/2 
                );
                R=dis(b[i],O);
            }
        }
    }
printf("%.10lf\n%.10lf %.10lf",R,O.x,O.y);
}