Dijkstra算法迪科斯彻算法
Dijkstra算法描述为：假设用带权邻接矩阵来表示带权有向图。首先引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到的从始点v到每个终点Vi的最短路径。它的初始状态为：若两顶点之间有弧，则D[i]为弧上的权值；否则置D[i]为无穷大。
1. 找到与源点v最近的顶点，并将该顶点并入最终集合S；
2. 根据找到的最近的顶点更新从源点v出发到集合V-S上可达顶点的最短路径；
3. 重复以上操作。
以前总是认为Dijkstra算法可以用来求从源点到指定终点的最短路径，导致总不能抓住算法的中心思想。现在认为把握Dijkstra的算法要点为：
1. Dijkstra提出了一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法；
2. 每次循环都可以得到一个从源点到某个顶点的最短路径，某个即不是确定的一个；
以 带权有向图 1为例说明Dijkstra算法的执行过程：
图1 带权有向图
假设源点为v0，则初始状态时源点到其它各顶点的距离为：<∽代表无穷大>
|
源点 终点 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
|
v0 |
∽ |
10 |
∽ |
30 |
100 |
由上表可知，与源点v0最近的顶点为v2，距离为10。
将v2加入到最终顶点集合S中。
再根据v2更新从源点到其它顶点的最短距离，即从v0-v2-v3的距离为60<∽，所以将v0到v3的距离更新为60，如下表所示：
|
源点 终点 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
|
v0 |
∽ |
10 |
60 |
30 |
100 |
由上表可知，与源点v0次近的顶点为v4，距离为30。
将v4加入到最终顶点集合S中；
再根据v4更新从源点到其它顶点的最短距离。即从v0-v4-v3的距离为50<60，所以将v0到v3的距离更新为50；从v0-v4-v5的距离为90<100，所以将v0到v5的距离更新为90。
|
源点 终点 |
v1 |
v2 |
v3 |
v4 |
v5 |
|
v0 |
∽ |
10 |
50 |
30 |
90 |
重复以上操作……
直到最终集合包含了所有的顶点。
以上参考来源：http://www.cppblog.com/eryar/archive/2013/01/01/196897.html
>>应用例子：深大各地点之最短路径
#include<iostream>
#include<stack>
#include<string>
#defineM 100
#defineN 100
#definev_num 8 //顶点个数
#definee_num 11 //边数
usingnamespace std;
classMGraph
{
public:
string name[v_num];
//顶点名称
string info[v_num];
//顶点信息
int matrix[N][M];
//邻接矩阵
int n ;
//顶点数
int e ;
//边数
public:
MGraph(int v_n,int e_n){ n = v_n; e =e_n; }
void help();
void buildMap();
void buildInfo();
void display();
void findInfo(int v);
void findDij(int v0,int v);
};
//主菜单
voidhelp()
{
cout<<"************************************"<<endl;
cout<<"<1> 查询景点介绍\n";
cout<<"<2> 查询任意两个景点之间的最佳路线\n";
cout<<"<other> 退出\n";
cout<<"************************************"<<endl;
}
//景点距离
voidMGraph::buildMap()
{
matrix[0][1] = 5;
matrix[1][3] = 5;
matrix[1][2] = 8;
matrix[2][3] = 5;
matrix[3][4] = 5;
matrix[4][5] = 4;
matrix[4][6] = 10;
matrix[3][6] = 10;
matrix[5][6] = 10;
matrix[5][7] = 20;
matrix[6][7] = 15;
}
//景点名称及介绍信息
voidMGraph::buildInfo()
{
name[0] = "南区";info[0] ="南区有学生宿舍以及新建的信工，机电，医学院大楼";
name[1] = "学生活动中心/石头坞"; info[1] = "各种学生活动的主要场所";
name[2] = "南图";info[2] = "南图书馆与北图书馆相对而立，主要存放理工科类书籍";
name[3] = "教学楼";info[3] ="顾名思义，很多课程都在这上，建筑呈之字形，分A,B,C,D四栋";
name[4] = "北图";info[4] ="北图书馆文学气息浓厚，主要存放文科类书籍";
name[5] = "办公楼";info[5] ="深圳大学的行政办公楼";
name[6] = "科技楼";info[6] ="又被称为中指楼，深大最具特色的建筑，兼具办公，科研";
name[7] = "文科楼";info[7] ="文科楼是深大学生主要上课的场所之一";
}
//显示景点
voidMGraph::display()
{
int i;
cout<<"*******************************菜单**********************************"<<endl;
cout<<"*********************************************************************"<<endl;
cout<<"<0>返回上层菜单 ";
for(i=0;i<v_num;++i)
{
if((i+2)%3==0)
{
cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<endl;
cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;
}
else
cout<<'<'<<i+1<<'>'<<name[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"*********************************************************************"<<endl<<endl;
}
//查询景点信息
voidMGraph::findInfo(int v)
{
cout<<"-------------------------<"<<name[v]<<">------------------------------"<<endl;
cout<<endl;
cout<<info[v]<<endl;
cout<<"---------------------------------------------------------------------"<<endl;
cout<<endl<<endl;
}
//最短路径算法
voidMGraph::findDij(int v0,int v) //v0表示源顶点
{
int *dist=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
int *path=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
int i,j,k;
bool *visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*n);
for(i=0;i<n;i++) //初始化
{
if(matrix[v0][i]>0&&i!=v0)
{
dist[i]=matrix[v0][i];
path[i]=v0;
//path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点
}
else
{
dist[i]=INT_MAX;
//若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大
path[i]=-1;
}
visited[i]=false;
path[v0]=v0;
dist[v0]=0;
}
visited[v0]=true;
for(i=1;i<n;i++)
//循环扩展n-1次
{
int min=INT_MAX;
int u;
for(j=0;j<n;j++)
//寻找未被扩展的权值最小的顶点
{
if(visited[j]==false&&dist[j]<min)
{
min=dist[j];
u=j;
}
}
visited[u]=true;
for(k=0;k<n;k++)
//更新dist数组的值和路径的值
{
if(visited[k]==false&&matrix[u][k]>0&&min+matrix[u][k]<dist[k])
{
dist[k]=min+matrix[u][k];
path[k]=u;
}
}
}
//输出最短路线
cout<<endl<<name[v0]<<"到"<<name[v]<<"的最短路径是："<<dist[v]<<endl;
//打印路线
stack<int> s;
int u=v;
while(v!=v0)
{
s.push(v);
v=path[v];
}
s.push(v);
cout<<"具体路线为：";
while(!s.empty())
{
cout<<name[s.top()]<<"";
s.pop();
}
cout<<endl<<endl;
}
//主函数
intmain(int argc, char *argv[])
{
int i,j,c2;
char c1;
MGraph g(v_num,e_num);
int v0,v;
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
g.matrix[i][j]=10000;
g.buildInfo();
g.buildMap();
do
{
help();
cout<<"请选择查询内容："<<endl;
cin>>c1;
switch(c1)
{
case'1':while(1)
{
g.display();
cout<<"请输入查询景点编号："<<endl;
cin>>c2;
if(c2==0) break;
g.findInfo(c2-1);
}
break;
case'2':while(1)
{
g.display();
cout<<"请依次输入两个查询景点编号(第一个编号小于第二个)："<<endl;
cin>>v0>>v;
if(v0==0||v==0) break;
g.findDij(v0-1,v-1);
}
break;
}
}while(c1=='1'||c1=='2');
return 0;
}
