数学分析摘要

实数的完备性

对于任何非空有上界的集合 A ，其上界b的集合B含有最小元 b′ ，也就是说，存在唯一的元素 b′∈B 使得：
1) b′ 是集合A的上界，即对于一切 a∈A ，成立 b≥a ;
2) b′ 是集合 B 的最小元素，也就是说对于一切 b′∈B ,有 b′≤b .
元素 b′ 叫做集合A的上确界(记作: b′=supA ).
同样的，对于有下界的集合 A ，其下界的集合 D 同样存在其下确界.

极限与数值计算

利用数列的极限存在一常数，可以迭代计算出该常数，下面举几个例子。
1. Heron迭代
xn+1=12(xn+axn)
其中 a 是正常数， x1 是任意的正数。由定理：
单调递减且有下界的数列有极限等于 inf(an) .
得出
limn→∞xn+1=12(limn→∞xn+alimn→∞xn)
得到 limn→∞xn=a√ .
这种迭代方法的精彩之处在于，它对于初值不敏感，并且计算过程中出现的错误，也会在接下来的迭代过程中得到修正。
同时，我们还可以计算出迭代过程的收敛速度，从等式
xn+1±a√=(xn±a√)22xn,
得到
xn+1−a√xn+1+a√=(xn−a√xn+a√)2,
令 x1−a√x1+a√=q . 对于 x1>0,有|q|<1 .然后得到
xn−a√xn+a√=q2n−1,
因此
xn=1+q2n−11−q2n−1a√,
收敛速度
Δn=xn−a√=2q2n−11−q2n−1a√
2. 开普勒方程
同样可以使用逐次迭代求解开普勒方程
x−asinx=y(0<a<1).
令
x0=y,xn=y+asinxn−1.

参考资料：数学分析讲义(第3版)

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