定义7
令
xk
是
Rn
中的点列，如果对每个包含
x
的开集
U
(或者称为
x
的邻域)，有一个
N
使得
k≥N
时
xk∈U
，那么我们说
xk
收敛到
Rn
中的一个极限值
x
，如图1所示。
图1：序列收敛
这个定义与下面介绍的
ε
定理是一致的。
定理8
Rn
中的序列
xk
收敛到
x∈Rn
，当且仅当对于每个
ε>0
，有一个
N
使得
k≥N
时
∥x−xk∥<ε
。
这个定义类似于我们熟悉的实数的收敛序列，下面介绍的定理与上面的非常类似
定理8
xk→x
，当且仅当
xk
的元素像实数序列那样收敛到
x
中的元素。
该定义的证明会放到附2中，从定理7中以及
∥xk−x∥
的显示公式中很容易得出这个定理。
我们可以用序列来判断一个集合是否为闭，方法如下：
定理9
- 集合
A⊂Rn
是闭集，当且仅当每个序列
xk∈A
收敛的极限属于
A
。
- 对于集合
B⊂Rn
，
x∈cl(B)
当且仅当有一个序列
xk∈B
满足
xk→x
。
这个定义的直观与定理4与5一样，我们应该注意的是
(i),(ii)
中的序列是平凡的，对于所有
k,xk=x
。
类似
R1
的情况，可以定义
Rn
中的柯西序列。
定义8
对于序列
xk∈Rn
，如果对于每个
ε>0
，有一个
N
使得
l,k≥N
暗含
∥xk−xl∥<ε
，那么称该序列为柯西序列。
定理10
Rn
中的序列
xk
收敛到
Rn
中的点，当且仅当它是一个柯西序列。
因为柯西条件没有明确涉及极限点，所以这个定理是判断收敛一种非常重要的方法，因此即便我们不知道一个序列的极限，但我们依然可以说出该序列是否收敛。
注意：对于通常的度量空间(集合
S
与满足第一章定理5
(III)
条件的实值距离函数
d
)柯西序列就是对所有
ε>0
，存在
N
使得
k,l≥N
时
d(xk,xl)<ε
的序列。当且仅当每个柯西序列收敛到空间中的一个点时，我们称该空间是完备的(complete)，这里给出一个不完备空间的例子：距离函数为
d(x,y)=|x−y|
的有理数，那么定理10就表明
Rn
是一个完备度量空间。
例1：
说明当
n→∞
时序列
(1/n,1/n2)
收敛到
(0,0)
。
解：
序列中的每个元素
1/n,1/n2
都收敛到0，所以由定理8可知，
xn=(1/n,1/n2)
收敛到
(0,0)
。
例2：
令
xn∈Rm
是收敛序列，且对所有的
n
满足
∥xn∥≤1
，那么说明极限
x
也满足
∥x∥≤1
，如果
≤
换成
<
的话，这个结论还满足吗？
解：
单位球
B={y∈Rm|∥y∥≤1}
是闭的，因此由定理9
(i)
可得，
xn∈B
意味着
x∈B
，但是如果
≤
换成
<
的话，这个结论就不为真。例如实数
R
上的
xn=1−1/n
序列。
例3：
找出
A={1/n∈R|n=1,2,…}
的闭包。
解：
利用定理9
(ii)
，序列
1/n→0
，所以
0∈cl(A)
，从
A
中取任何其他序列都不会产生新的点，所以
cl(A)=A∪{0}
