绝对优势与比较优势的数学分析与其…

广义动量定理与系统思考 ——战争、管理学与经济学通论

 

 

2.4 作用点与经济学

 

2.4.1 作用点与比较优势

当有n国生产2种产品时，可以写出如下的带约束的函数，

其中F_i1和F_i2分别为i国生产1单位产品1和产品2所需劳动量，x_i为i国用于生产1产品的劳动量。亚当•斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势均可以以上述函数数学化，当涉及多种产品的生产时，可以将以上函数相应扩展。

亚当斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势是函数在特定初始状态下的一个特解。

亚当•斯密提出绝对优势理论，各国集中力量生产有绝对优势的产品，然后进行贸易可以增加产出。大卫李嘉图提出了比较优势理论，处于比较优势的国家，应集中力量生产优势较大的商品，处于比较劣势的国家，应集中力量生产劣势较小的商品然后进行贸易，也可以增加总产出。

非专业化	英国		葡萄牙		总产量
	劳工	产量	劳工	产量	4
衣料	100	1	110	1	2
葡萄酒	120	1	80	1	2

英国需要生产1单位的衣料需要100单位劳动，生产1单位葡萄酒需要120单位劳动。葡萄牙生产1单位的衣料需要110单位劳动，生产1单位葡萄酒需要80单位劳动。英国在生产1单位衣料上所用劳动比葡萄牙少，英国具有绝对优势；葡萄牙生产1单位葡萄酒所用劳动比英国少，葡萄牙具有绝对优势。

专业化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.575		得到数量	得到数量
衣料	220	2.2	0	0	2.2	1.1:1.1	1.1	1.1
葡萄酒	0	0	190	2.375	2.375		1.1	1.275

两国进行专业化生产，生产具有绝对优势的产品，并且以1.1:1.1进行交换。英国生产2.2单位的衣料，葡萄牙生产2.375单位的葡萄酒，总产量为4.575，比非专业化时增加。两国进行交易后，英国获得1.1单位的衣料，比非专业化时多，获得1.1单位葡萄酒，也比非专业化多。葡萄牙获得1.1单位的衣料，比非专业化时多，获得1.275单位葡萄酒，也比非专业化多。社会福利增加。专业化生产具有绝对优势的商品，然后进行交易，社会福利会增加，这是亚当斯密专业化生产的理论基础。

在MATLAB中输入如下命令，可以得到亚当斯密的绝对优势例子的最大值。

[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);

z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/110*y+1/80*(190-y)).*((1/100*x+1/110*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/90*(190-y)>=2));

surf(x,y,z),shading flat

那么如果英国生产1单位葡萄酒需要90单位的劳动，会出现什么结果呢？

非专业化	英国		葡萄牙		总产量
	劳工	产量	劳工	产量	4
衣料	100	1	110	1	2
葡萄酒	90	1	80	1	2

此时英国生产1单位的衣料所需劳动量比葡萄牙少，英国在生产衣料上具有绝对优势；葡萄牙生产1单位的葡萄酒所需劳动量比英国少，葡萄牙在生产葡萄酒上就有绝对优势。按照亚当斯密的绝对优势指导原则，英国应该专业化生产衣料，葡萄牙应该专业化生产葡萄酒，然后两国进行交易，可以得到社会福利的增加。但结果并非总是如此，如下表。

专业化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.275		得到数量	得到数量
衣料	190	1.9	0	0	1.9	0.9:1.1	1	0.9
葡萄酒	0	0	190	2.375	2.375		1.1	1.275

英国专业生产衣料，衣料的总产量为1.9单位，无论英国和葡萄牙以如何比例进行交换，至少有一国的衣料获得量要少于未专业化分工之前的获得量，不符合帕累托约束，即不满足"在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。"

大卫·李嘉图在其代表作《政治经济学及赋税原理》中提出了比较成本贸易理论（后人称为"比较优势贸易理论"）。比较优势理论认为，国际贸易的基础是生产技术的相对差别（而非绝对差别），以及由此产生的相对成本的差别。每个国家都应根据"两利相权取其重，两弊相权取其轻"的原则，集中生产并出口其具有"比较优势"的产品，进口其具有"比较劣势"的产品。比较优势贸易理论在更普遍的基础上解释了贸易产生的基础和贸易利得，大大发展了绝对优势贸易理论。广义动量定理Fαt=MV角度来说，作用点不同，产出的成果不同。从战争引出的核心原则为，集中自己的优势打击敌人的弱点可以获得最大的成果。比较优势也就是对方的比较弱点，所以将力量集中打击在敌人的弱点可以获得最大的成果。比较优势是军事原则的集中优势兵力，而打击点则是敌人敌人的劣势，也就是自己机会成本最小的地方。此战争理论核心与比较优势本质是相同的，区别就是战争是毁灭性的的，是负成果，而比较优势是创造性的，是正成果。

非专业化	英国		葡萄牙		总产量
	劳工	产量	劳工	产量	4
衣料	100	1	90	1	2
葡萄酒	120	1	80	1	2

如上数字可见，无论生产衣料或葡萄酒，葡国都有绝对优势（absoluteadvantage）：两种产品，产量同样是一，葡国所需的劳工都比英国所需的少。然而，从劳力成本的比例上看，英国一衣料单位的成本是0.833单位葡萄酒（100除以120），而葡国一衣料单位的成本是1.125葡萄酒（90除以80）。这是说，衣料的成本英国比葡国低。英国在衣料生产上有比较优势，如果英国专业化生产衣料，葡萄牙专业生产葡萄酒，然后1:1进行交换，两国所得均比不专业生产多。

专业化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.325		得到数量	得到数量
衣料	220	2.2	0	0	2.2	1:1交易	1.075	1.125
葡萄酒	0	0	170	2.125	2.125		1.125	1

由此可见，"两优择其甚，两劣权其轻"，是比较优势理论的基本原则。

这是李嘉图所提出的比较优势理论，也是国际贸易的基础理论。根据比较优势原理，一国在两种商品生产上较之另一国均处于绝对劣势，但只要处于劣势的国家在两种商品生产上劣势的程度不同，处于优势的国家在两种商品生产上优势的程度不同，则处于劣势的国家在劣势较轻的商品生产方面具有比较优势，处于优势的国家则在优势较大的商品生产方面具有比较优势。两个国家分工专业化生产和出口其具有比较优势的商品，进口其处于比较劣势的商品，则两国都能从贸易中得到利益。这就是比较优势原理。也就是说，两国按比较优势参与国际贸易，通过"两利取重，两害取轻"，两国都可以提升福利水平。

那么比较优势的理论是绝对正确的吗？答案是否定的。

1.比较优势能导致各国的福利增加吗？

本文将通过例子和数学推理来说明专业化生产比较优势的产品未必是达到社会福利最大化。

改变李嘉图说明比较优势的经典例子中的一个参数，而改变后的例子依旧符合李嘉图的比较优势，验证结果是否是使社会福利增加。

将葡萄牙生产每单位葡萄酒所需的劳动量从80单位改变到100单位，其他条件不变，如下图。

非专业化	英国		葡萄牙		总产量
	劳工	产量	劳工	产量	4
衣料	100	1	90	1	2
葡萄酒	120	1	100	1	2

从劳力成本的比例上看，英国一衣料单位的成本是0.833单位葡萄酒（100除以120），而葡国一衣料单位的成本是0.9葡萄酒（90除以100）。这是说，衣料的成本英国比葡国低。英国在衣料生产上有比较优势，如果英国专业化生产衣料，葡萄牙专业生产葡萄酒，然后1.1:0.9进行交换，两国得到的不比非专业化多，因为葡萄牙专业化后只能生产1.9单位的葡萄酒，而未专业化分工前两个国家的总产量为2，专业化之后葡萄酒的产量变少，不符合帕累托最优，帕累托最优的要求为：在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好。无论英国和葡萄牙以如何比例分配葡萄酒，至少会有一个国家的葡萄酒占有量比未专业化分工前少。

[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:170);

>>z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/80*(170-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/80*(170-y)>=2));

>> surf(x,y,z),shading flat

 

专业化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.1		得到数量	得到数量
衣料	220	2.2	0	0	2.2	1.1:0.9	1.1	1.1
葡萄酒	0	0	190	1.9	1.9		0.9	1

所以李嘉图的比较优势理论未必能导致各国福利的增加。

2.比较优势的专业化分工一定能导致国家的总产出最大化吗？答案是否定的。

以上例继续分析，

设英国用在生产衣料上的劳工为x，x取值范围为[0，220]，衣料的产量为x/100；则用在生产葡萄酒上的劳工为220-x，葡萄酒的产量为(220-x)/120。设葡萄牙用在生产衣料上的劳工为y，y取值范围为[0，190]，衣料的产量为x/90；则用在生产葡萄酒上的劳工为190-y，葡萄酒的产量为(190-y)/100。设总产量为z，求z的最大值，z等于

其中前两个约束为定义域约束，表示自变量的取值范围。后两个约束是为了满足帕累托最优而设置的约束，即英国的与葡萄牙的衣料的产量不少于之前的最小值2个单位，国的与葡萄牙的葡萄酒产量不少于之前最小值2个单位。

通过最优化或者函数优化的方法进行求解，得到产量的最大值为4.08，英国英国使用208单位的劳工在生产衣料上，产出2.08单位的衣料；使用12单位的劳工在生产葡萄酒上，产出0.1单位的葡萄酒。葡萄牙使用0单位的劳工在生产衣料上，产出0单位的衣料；使用190单位的劳工在生产葡萄酒上，产出1.9单位的葡萄酒。衣料的总产量为2.08单位，葡萄酒的总产量为2单位。英国以1.04单位的衣料交换葡萄牙0.9单位的葡萄酒，两国均获得1.04单位的衣料和1单位的葡萄酒，比没有进行优化之前，每国得到的葡萄酒数量相同为1单位，而衣料为1.04单位，比之前多了0.4单位。两国因为选择了优化而使社会的总产出增加，并且满足帕累托最优的要求，每国的福利均增加。

优化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.08		得到数量	得到数量
衣料	208	2.08	0	0	2.08	1.04:0.9	1.04	1.04
葡萄酒	12	0.1	190	1.9	2		1	1

在MATLAB中如下命令来表述上边的函数，可以得到如下图形。

 

>>[x,y]=meshgrid(0:.5:220,0:1:190);

>>z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/100*(190-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/100*(190-y)>=2));

>> surf(x,y,z),shading flat

图形中显示出最大值为4.08，英国用在生产衣料的劳工为208，葡萄牙用来生产衣料的劳工为0。

当约束要求葡萄酒的总产量不小于2.05时，输入如下命令，得到最大值为4.07，英国用在生产衣料的劳工为202，产生2.02单位衣料，用在生产葡萄酒的劳工为18，产生0.15单位的葡萄酒；葡萄牙用在生产衣料的劳工为0，生产0单位衣料，用在生产葡萄酒的劳工为190，生产1.9单位的葡萄酒。两国共生产2.02单位衣料和2.05单位葡萄酒。

>>[x,y]=meshgrid(0:0.5:220,0:0.5:190);

>>z=(1/100*x+1/120*(220-x)+1/90*y+1/100*(190-y)).*((1/100*x+1/90*y>=2)&(1/120*(220-x)+1/100*(190-y)>=2.05));

>>surf(x,y,z),shading flat

随着约束要求的增加，最终导致不存在同时满足两个不等式的解。比如要求衣料的产量大于等于2，葡萄酒的产量大于等于2.1，会导致无解，图形如下所示。

3.比较优势的数学化

设1国在1产品上需要F₁₁的劳动来生产1单位的产品，1国在2产品上需要F₁₂的劳动来生产1单位的产品；2国在1产品上需要F₂₁的劳动来生产1单位的产品，2国在2产品上需要F₂₂的劳动来生产1单位的产品。设1国在1产品上使用的劳动为x₁，1产品的产出为x₁/F₁₁，在产品2上的劳动为F₁₁+F₁₂，2产品的产出量为(F₁₁+F₁₂-x₁)/F₁₂。设2国在1产品上使用的劳动为x₂，1产品的产出为x₂/F₂₁，在产品2上的劳动为F₂₁+F₂₂，2产品的产出量为(F₂₁+F₂₂-x₂)/ F₂₂。

非专业化	1国		2国
	劳动量	产量	劳动量	产量	总产量
1产品	F11	1	F21	1	2
2产品	F12	1	F22	1	2

将F(x)合并同类项，得到

上式是关于x₁和x₂的2维函数，当x₁和x₂的系数异号时，则正数的系数取最大值，负数的系数取0，则可得到函数F(x)的最大值，这是李嘉图比较优势例子的情况，此时两个各自专业化，总产出最大，并且满足帕累托最优。当x₁和x₂的系数同号时，此时的情况是李嘉图比较优势的反例，两国采取专业化时，不满足帕累托最优的限制。

下图给出了不同情况下的两个国家在满足帕累托限制下，为了总产出最大化，两国应该采取的策略。

	1国	2国	1国	2国
系数	1/F11-1/F12	1/F21-1/F22	1/F11-1/F12	1/F21-1/F22
符号	+	-	-	+
1产品	专业化	0	0	专业化
2产品	0	专业化	专业化	0
符号	+	+	-	-
系数大小	大	小	小	大
1产品	半专业化	0	半专业化	0
2产品	半专业化	专业化	半专业化	专业化

当两个国家的系数为不同号时，正号的国家采取在1产品上专业化，负号采取在2产品上采取专业化，两个可以达到产出最大化。

当两国的系数都是正号时，系数小的国家采取专业化，系数大的国家采取在两个产品上非专业化。当两个的系数都是负号时，系数大的国家采取专业化，系数小的国家采取在两个产品上非专业化，可以在满足帕累托最优的条件下，获得产出最大化。

1国		2国		1国系数	2国系数	1国策略		2国策略		总产量
F11	F12	F21	F22	1/F11- 1/F12	1/F21- 1/F22	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品
100	120	90	80	1/100-1/120>0	1/90-1/80<0	220	0	0	170	2.2	2.125
100	120	90	100	1/100-1/120>0	1/90-1/100>0小	208	12	0	190	2.08	2
100	120	90	120	1/100-1/120>0小	1/90-1/120>0	0	220	10	210	2	2.138

当两国系数均为正时，系数小的国家应该采取专业化，系数大的国家采用非专业化。

以下为三个例子。

1国		2国		1国系数	2国系数	1国策略		2国策略		总产量
F11	F12	F21	F22	1/F11- 1/F12	1/F21- 1/F22	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品
100	120	90	80	1/100-1/120>0	1/90-1/80<0	220	0	0	170	2.2	2.125
100	120	90	100	1/100-1/120>0	1/90-1/100>0小	208	12	0	190	2.08	2
100	120	90	120	1/100-1/120>0小	1/90-1/120>0	0	220	10	210	2	2.138

 

当有三个国家生产两种产品时，函数如下。

三国生产两种产品的例子如下

	1国		2国		3国		1国系数	2国系数	3国系数	1国比值	2国比值	3国比值
序号	F11	F12	F21	F22	F31	F32	1/F11-	1/F21-	1/F21-	F11/F12	F21/F22	F31/F32
							1/F12	1/F22	1/F22
1	100	120	90	100	80	90	0.001666	0.001111	0.001388	0.833	0.9	0.888
2	100	120	90	100	80	100	0.001666	0.001111	0.0025	0.833	0.9	0.8
3	100	120	90	100	80	150	0.001666	0.001111	0.005833	0.833	0.9	0.533
序号	1国策略		2国策略		3国策略		总产量
	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	现总产量	原总产量
1	220	0	0	190	71	99	3.0875	3	6.0875	6
2	88	132	0	190	180	0	3	3.13	6.13	6
3	88	132	0	190	230	0	3.755	3	6.755	6

当有n国生产2种产品时，可以写出类似的带约束的函数，

此函数可以为几十，几百，几千上万维，没有限制，并且此函数有最优解，可以通过优化算法进行求解。

当n等于11时，即11国家生产两种产品时的例子如下。

	1国		2国		3国		4国		5国		6国
序号	F11	F12	F21	F22	F31	F32	F41	F42	F51	F52	F61	F62
1	100	110	110	120	120	140	130	150	140	150	160	180
2	100	110	110	120	120	140	130	150	140	150	160	180
3	100	110	110	120	120	140	130	150	140	150	160	180
4	100	110	110	120	120	140	130	150	140	150	160	180
5	100	110	110	120	120	140	130	150	140	150	160	180
序号	1国策略		2国策略		3国策略		4国策略		5国策略		6国策略
	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品
1	210	0	0	230	260	0	280	0	0	290	340	0
2	210	0	143.0175	86.9825	260	0	280	0	0	290	340	0
3	66.0994	143.9006	0	230	260	0	280	0	0	290	340	0
4	66.0994	143.9006	0	230	260	0	280	0	0	290	340	0
5	210	0	83.0175	146.9825	260	0	280	0	0	290	340	0
	7国		8国		9国		10国		11国
序号	F71	F72	F81	F82	F91	F92	F101	F102	F111	F112
1	170	180	180	190	180	200	190	200	210	230
2	170	180	180	190	180	200	190	200	210	140
3	170	180	180	190	180	200	190	200	210	430
4	170	180	180	190	180	200	190	200	210	600
5	170	180	180	190	180	200	190	200	210	210
序号	7国策略		8国策略		9国策略		10国策略		11国策略		总产量
	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	1产品	2产品	现总产量	原总产量
1	0	350	0	370	380	0	0	390	139.117	300.883	11.3191	11	22.3191	22
2	0	350	0	370	380	0	0	390	0	350	11.9568	11	22.9568	22
3	0	350	0	370	380	0	0	390	640	0	12.2652	11	23.2652	22
4	0	350	0	370	380	0	0	390	810	0	13.7048	11	24.7048	22
5	0	350	0	370	380	0	0	390	0	420	11.4113	11	22.4113	22

当多个国家生产多种商品时，也可以类似的给出有约束的函数，然后进行优化求解。比如三个国家生产三种产品。带约束的函数如下

，，

，，

，，

三国生产三种产品的例子如下

	1国			2国			3国
序号	F11	F12	F13	F21	F22	F23	F31	F32	F33
1	80	90	100	70	90	110	90	60	130
2	80	90	100	70	90	110	90	60	110
3	80	90	100	70	90	110	90	60	50
4	80	90	100	70	90	110	90	60	40
	1国策略			2国策略			3国策略			总产量
序号	1产品	2产品	3产品	1产品	2产品	3产品	1产品	2产品	3产品	1产品	2产品	3产品	现总产量	原总产量
1	0	0	270	237	0	33	0	280	0	3.3857	3	4.6667	11.0524	9
2	0	0	270	237	0	33	0	260	0	3.3857	3	4.3333	10.719	9
3	0	270	0	270	0	0	0	0	200	3.8571	3	4	10.8571	9
4	0	270	0	270	0	0	0	0	190	3.8571	3	4.75	11.6071	9

 

在广义动量定理Fαt=nmV中，不同的力量F会产生不同的成果nmV，李嘉图的例子是一个静态的例子，没有时间因素。比如英国需要120的劳动量来生产1单位的葡萄酒，葡萄牙需要80单位的劳动来生产1单位的葡萄酒。谁更有效率或者成本更低呢？在没考虑时间的因素下，葡萄牙更有效率，劳动成本更低。而考虑时间因素，则结果就是不一定的了。比如英国需要120人的劳动和10天时间就能生产1单位的葡萄酒，而葡萄牙需要80人的劳动和20天才能生产1单位的葡萄酒。英国生产1单位的葡萄酒需要1200人天，葡萄牙需要1600人天，英国的付出更少。

在李嘉图的比较优势的例子中，李嘉图使用了力量F作为分析因素，在广义动量定理Fαt=nmV中，力量F，方向α，时间t和作用点都能对成果nmV产生影响。经济学家杨小凯在《发展经济学-超边际与边际分析》所使用的比较优势的例子是基于不同的速度V的。我们可以通过不同的时间t的分配来获得不同的成果。

本文将分析不同的速度V的比较优势下的例子，顺便分析杨小凯的超边际分析和专业化分工理论的漏洞。在书中，杨小凯假定1国在1商品上的劳动生产率V₁₁=2，在2商品上的劳动生产率为V₁₂=1；2国在在x商品上的劳动生产率V₂₁=3，在2商品上的劳动生产率为V₂₂=4。在《发展经济学-超边际与边际分析》书中的图形如下图所示，FB线段为2国的劳动生产率，CD为1国的劳动生产率。因为两个所工作的时间t是相同的，可以设置为1，所以劳动生产率乘以时间1可以得到产量，下图也是产量的示意图。杨小凯将线段FB和CD平移，得到四边形EFGH，杨小凯证明了F点为专业化分工的角点解，并且F点的社会总产出最大为6，其中2国对应点F，专业化生产2商品，产出4个2商品；1国对应点D，专业化生产1商品，产出的2单位的1商品。

杨小凯的推理为：因为V₂₁=3>V₁₁=2；V₂₂=4>V₁₂=1，所以2国在x和商品上都具有绝对优势，并且V₁₁/V₁₂>V₂₁/V₂₂，所以1国在1产品上具备比较优势，2国在2产品上具备比较优势，所以按照李嘉图的比较优势原理，1国应该专业化生产1产品，2国应该专业化生产2产品，然后两国进行交换，就能达到社会福利最大化。这与杨小凯所证明的角点解是相同的。

如果V₂₂=5，2国在1产品和2产品上都具有绝对优势，而V₁₁/V₁₂>V₂₁/V₂₂，1国具有比较优势，所以按照李嘉图的比较优势理论，1国专业化生产1产品，2国专业化生产2产品，两国进行交易可以达到两国福利最大化。杨小凯在书中说："产出组合EHG同有比较优势的分工有关。我们在后边将要证明，此种生产情况不可能在均衡中存在。"如下图所示，产量最大点有两个，一个是H，一个是G，两个点的产量相同。杨小凯的超边际分析证明不了G点在均衡中不存在。

在MATLAB中输入如下命令，可以得到函数的定义域和值域的图形，如下图所示

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y);

surf(x,y,z),shading flat

在杨小凯的论述中，F点为比较优势，H点为比较劣势，H点是不能获得的。但是在图形中，F点和H点的最大值均为6，是否能取到此点取决于自给自足时的初始状态，与比较优势无关，这一点会在下边进行论述。

数学分析

设两个的工作时间均为T，为了计算方便，T=1，T的取值范围为[0,1]，所有国家均可选择以什么样的时间比例分配在产品1和2上边，以便产生不同的成果。设1国用在生产1产品的时间为x，则1的产量为V₁₁x；则生产2产品的时间为1-x，2的产量为V₁₂(1-x)。设2国用在生产1产品的时间为y，则2的产量为V₂₁y；则生产2产品的时间为1-y，2的产量为V₂₂(1-y)。设总产量为z，求z的最大值，则z等于

上式为杨小凯所举例子的数学函数。其中前两个约束为定义域约束，表示自变量的取值范围。后两个约束是为了满足帕累托最优而设置的约束，即1国的与2国的1产品的产量不少于之前的最小值，1国的与2国的2产品的产量不少于之前最小值。

自给自足	1国			2国			总产量	不交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	4.9		得到数量	得到数量
1产品	2	0.2	0.4	3	0.3	0.9	1.3		0.4	0.9
2产品	1	0.8	0.8	4	0.7	2.8	3.6		0.8	2.8
专业化	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	6		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	3	0	0	2	1.55:1	0.45	1.55
2产品	1	0	0	4	1	4	4		1	3

在自给自足的条件下，1国1产品的产量为0.4，2产品的产量为0.8。2国1产品的产量为0.9，2产品的产量为2.8。所以在约束函数中2国生产的1产品不小于1.3，生产的2产品不小于2.8。对上述函数进行优化求解，在满足约束的条件下，x取大值1，即1国将所有时间用在生产1产品上，专业化生产1产品；y取最小值0，即2国将所有时间用在生产2产品上，专业化生产2产品。总产量为6，比自给自足时的4.9多，两个以1:1.55比例进行交换，交换后两国在两种产品上的状况都比自给自足时好。利用MATLAB输入如下命令，可以得到如下图形。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+3*y+4*(1-y)).*((2*x+3*y>=0.4+0.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=0.8+2.8));

surf(x,y,z),shading flat

双方分工后的状态取决于分工前双方的状态，如果2国分工前1产品的总产量大于2.5，那么采取李嘉图专业分工的方式，专业化生产比较优势的产品，那么1国专业生产1产品，2国专业生产2产品，1产品的总产量最大为2单位，不满足帕累托约束。如下表所示，在自给自足状态下，1国1产品的产量为1，2产品产量为0.5。2国1产品产量为1.5，2产品产量为2。

自给自足	1国			2国			总产量	不交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	5		得到数量	得到数量
1产品	2	0.5	1	3	0.5	1.5	2.5		1	1.5
2产品	1	0.5	0.5	4	0.5	2	2.5		0.5	2
专业化	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	6		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	3	0	0	2	1:0.5	1	1
2产品	1	0	0	4	1	4	4		0.5	3.5
优化1	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	5.833		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	3	0.1667	0.5	2.5	1:0.9	1	1.5
2产品	1	0	0	4	0.8333	3.333	3.333		0.9	2.433
优化2	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	5.833		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	3	0.2333	0.7	2.7	0.9:0.8	1.1	1.6
2产品	1	0	0	4	0.7667	3.068	3.068		0.8	3.2068

按照李嘉图的比较优势原理，1国应该专业生产有比较优势的产品1，2国专业生产产品2，然后进行交易。但专业化1产品的总产量为2，小于自给自足时的总产量2.5，进行交易，必定有一国在此产品上获得的数量小于自给自足时的状态。如果2国以1:0.5进行交易，那么2国只能获得1单位的1产品，小于自给自足时的1.5单位，不满足帕累托约束。

当对函数进行优化时，优化约束采用两个的1产品总产量大于等于2.5，2产品总产量大于等于2.5。优化后得到1国专业化生产1产品；2国用0.1667单位时间生产1产品，用0.8333单位时间生产2产品。两国以1:0.9进行交换，1国获得1单位1产品，与自给自足时相同，获得0.9单位2产品，比自给自足时多0.4单位。2国获得1.5单位1产品，与自给自足时相同，获得2.433单位2产品，比自给自足时多0.433单位。优化后社会福利比自给自足时增加。

改变约束，要求两国1产品的总产量不低于2.7进行优化，得到优化2的结果。1国专业化生产1产品；2国用0.233单位时间生产1产品，用0.7667单位时间生产2产品。两国以0.9:0.8进行交换，1国获得1.1单位的1产品，比自给自足时多0.1单位；获得0.8单位2产品，比自给自足多0.3单位。2国获得1.6单位1产品，比自给自足时多0.1单位，获得3.2068单位2产品，比自给自足时多2.068单位。两国在2种产品上的获得量均增加，优化2的社会福利比自给自足时增加。

改变2国自给自足时的生产速度，然后进行分析。在杨小凯所举的例子中，两国总产量函数为z=x-y+5，x和y的符号不同，在满足约束的条件下，x取最大值，y取最小值，函数z可以获得最大值，x=1，y=0为满足某个初始状态时的解，得到1国专业化生产1产品，2国专业化生产2产品。改变2国生产1产品的速度从3变成5，得到总产量函数z=x+y+5，使x和y为同号。

初始状态如下表所示，1国生产1产品的速度为2，产量为0.4；生产2产品的速度为1，产量为0.8。2国生产1产品的速度为5，产量为1.5，生产2产品的速度为4，产量为2.8。

自给自足	1国			2国			总产量	不交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	5.5		得到数量	得到数量
1产品	2	0.2	0.4	5	0.3	1.5	1.9		0.4	1.5
2产品	1	0.8	0.8	4	0.7	2.8	3.6		0.8	2.8
专业化	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	6		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	5	0	0	2	1.55:1	0.45	1.55
2产品	1	0	0	4	1	4	4		1	3
优化	1国策略			2国策略			总产量	交易	1国	2国
	速度	时间	产量	速度	时间	产量	6.1		得到数量	得到数量
1产品	2	1	2	5	0.1	0.5	2.5	1.3:0.8	0.7	1.8
2产品	1	0	0	4	0.9	3.6	3.6		0.8	2.8

当采用李嘉图比较优势的原则时，1国专业化生产1产品，获得2单位产量；2国专业化生产2产品，获得4单位的产量，总产量为6单位。两国采用1.55:1进行交易，1国获得0.45单位1产品，比自给自足时多了0.05单位；获得1.55单位2产品，比自给自足时多了0.05单位。2国获得1单位1产品，比自给自足时多了0.2单位；获得3单位2产品，比自给自足时多了0.2单位。总产量从5.5上升到6，比自给自足时多了0.5单位。专业化后两国的福利均增加。

可以在MATLAB中输入如下命令，获得专业化时的图形，其中1产品总产量不小于1.9，2产品不小于4。李嘉图比较优势的专业化生产为特定约束下的一个解。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=4));

surf(x,y,z),shading flat

采用函数优化时，要求1产品的总产量不小于自给自足时的1.9,2产品总产量不小于自给自足时的3.6，得到的结果如上表优化一栏所示。1国专业化生产1产品，获得2单位产量；2国用0.1单位时间生产1产品，获得0.5单位1产品；使用0.9单位时间生产2产品，获得3.6单位2产品。总产量为6.1单位。两国采用1.3:0.8进行交易，1国获得0.7单位1产品，比自给自足时多了0.3单位；获得0.8单位2产品，与自给自足时相同。2国获得1.8单位1产品，比自给自足时多了0.3单位；获得2.8单位2产品，与自给自足时相同。总产量从5.5上升到6.1，比自给自足时多了0.6单位。优化后两国的福利均增加。

在MATLAB中输入如下命令，可以得到1产品不小于1.9，2产品不小于3.6时的图形，如下图所示。

[x,y]=meshgrid(0:.001:1,0:.001:1);

z=(2*x+1*(1-x)+5*y+4*(1-y)).*((2*x+5*y>=1.9)&(1*(1-x)+4*(1-y)>=3.6));

surf(x,y,z),shading flat

多个国家决定生产什么产品，不仅取决于亚当斯密的绝对优势，李嘉图的比较优势，而是取决于初始状态约束和需要达到的目标。李嘉图的比较优势所提出的专业化策略是特定初始状态和约束下的一个特殊解。

比较优势的一个假设是劳动价值论，李嘉图所举的例子是基于力量F（劳动量）的，杨小凯所举的例子是基于时间t的。例如英国劳动F为100，对应1单位的衣料。

从广义动量定理Fαt=MV角度来说，比较优势可以基于力量F，那么也可以基于方向α，基于时间t和基于速度V等，基于不同的因素，比较优势的原理不变，扩展了比较优势的应用。

以上的所有讨论都是基于产出最大化，那么如果产出超出了需求呢？

在进行帕累托约束时，是否需要根据实际情况限制最大产出量呢？限制后会出现什么后果呢？

以李嘉图的绝对优势的例子进行分析，初始状态为未分工，衣料总产量为2单位，葡萄酒为2单位，总产量4单位。

非专业化	英国		葡萄牙		总产量
	劳工	产量	劳工	产量	4
衣料	100	1	110	1	2
葡萄酒	120	1	80	1	2

进行专业分工之后，衣料的总产量为2.2单位，葡萄酒为2.375单位，总产量为4.575单位。

专业化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.575		得到数量	得到数量
衣料	220	2.2	0	0	2.2	1.1:1.1	1.1	1.1
葡萄酒	0	0	190	2.375	2.375		1.1	1.275

绝对优势例子的数学函数为，求z在满足约束条件下的最大值。

后两个不等式约束为帕累托约束，要求优化后两种产品分别产量均不小于2单位。

如果在进行优化之后，两国的衣料需求总量为2.1单位，小于专业化生产的2.2单位，多生产的衣服将没有人需要。那么就需要添加另外的约束，即

优化	英国		葡萄牙		总产量	交易	英国	葡萄牙
	劳工	产量	劳工	产量	4.5583		得到数量	得到数量
衣料	210	2.1	0	0	2.1	1.05:1.2	1.05	1.05
葡萄酒	10	0.0833	190	2.375	2.4583		1.2	1.2583

如果葡萄酒的需求没有达到上限，那么英国剩余的劳动量会生产葡萄酒，使葡萄酒的总产量提高，但衣料和葡萄酒的总产量比专业化时降低。如果除了葡萄酒和衣料两种产品外，还有其他产品，那么英国剩余的劳动量也可能从事其他职业，而生产葡萄酒只是他们的一个选择。

如果葡萄酒的需求量在专业化分工后有所增长，从2单位上升到2.3单位，但是有上限，需求上限为2.3，那么此时会出现什么情况呢？

此时出现的情况为劳动生产能力大于需求，即凯恩斯所说的有效需求不足。此时会出现多种情况，如以前的惯例，给出几种典型状态。

情况1）英国只有210人专业化生产衣料，多余的10人从事其他行业的工作；葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒，剩余的6人从事其他职业。

情况2）英国只有210人专业化生产衣料，葡萄牙只有184人专业化生产葡萄酒，多余的人均失业。（失业会引起衣料和葡萄酒需求量下降）

情况3）英国有多于210人生产衣料，葡萄牙有多于184人生产葡萄酒，这其中有本分人为半失业状态或者非专业化状态。

情况4）英国有220人生产衣料，葡萄牙有190人生产葡萄酒，大部分人均处于半专业化状态，即大部分人的生产效率较低。这是一种通过降低生产效率来减少产出，从而使产出和需求相等，是一种使所有人都就业的情况。