机器学习算法与Python实践之（五）k均值聚类（k-means）

机器学习算法与Python实践这个系列主要是参考《机器学习实战》这本书。因为自己想学习Python，然后也想对一些机器学习算法加深下了解，所以就想通过Python来实现几个比较常用的机器学习算法。恰好遇见这本同样定位的书籍，所以就参考这本书的过程来学习了。

机器学习中有两类的大问题，一个是分类，一个是聚类。分类是根据一些给定的已知类别标号的样本，训练某种学习机器，使它能够对未知类别的样本进行分类。这属于supervised learning（监督学习）。而聚类指事先并不知道任何样本的类别标号，希望通过某种算法来把一组未知类别的样本划分成若干类别，这在机器学习中被称作 unsupervised learning （无监督学习）。在本文中，我们关注其中一个比较简单的聚类算法：k-means算法。

一、k-means算法

通常，人们根据样本间的某种距离或者相似性来定义聚类，即把相似的（或距离近的）样本聚为同一类，而把不相似的（或距离远的）样本归在其他类。

我们以一个二维的例子来说明下聚类的目的。如下图左所示，假设我们的n个样本点分布在图中所示的二维空间。从数据点的大致形状可以看出它们大致聚为三个cluster，其中两个紧凑一些，剩下那个松散一些。我们的目的是为这些数据分组，以便能区分出属于不同的簇的数据，如果按照分组给它们标上不同的颜色，就是像下图右边的图那样：

如果人可以看到像上图那样的数据分布，就可以轻松进行聚类。但我们怎么教会计算机按照我们的思维去做同样的事情呢？这里就介绍个集简单和经典于一身的k-means算法。

k-means算法是一种很常见的聚类算法，它的基本思想是：通过迭代寻找k个聚类的一种划分方案，使得用这k个聚类的均值来代表相应各类样本时所得的总体误差最小。

k-means算法的基础是最小误差平方和准则。其代价函数是：

式中，μ_c(i)表示第i个聚类的均值。我们希望代价函数最小，直观的来说，各类内的样本越相似，其与该类均值间的误差平方越小，对所有类所得到的误差平方求和，即可验证分为k类时，各聚类是否是最优的。

上式的代价函数无法用解析的方法最小化，只能有迭代的方法。k-means算法是将样本聚类成 k个簇（cluster），其中k是用户给定的，其求解过程非常直观简单，具体算法描述如下：

1、随机选取 k个聚类质心点

2、重复下面过程直到收敛  {

对于每一个样例 i，计算其应该属于的类：

对于每一个类 j，重新计算该类的质心：

}

下图展示了对n个样本点进行K-means聚类的效果，这里k取2。

其伪代码如下：

********************************************************************

创建k个点作为初始的质心点（随机选择）

当任意一个点的簇分配结果发生改变时

对数据集中的每一个数据点

对每一个质心

计算质心与数据点的距离

将数据点分配到距离最近的簇

对每一个簇，计算簇中所有点的均值，并将均值作为质心

********************************************************************

二、Python实现

我使用的Python是2.7.5版本的。附加的库有Numpy和Matplotlib。具体的安装和配置见前面的博文。在代码中已经有了比较详细的注释了。不知道有没有错误的地方，如果有，还望大家指正（每次的运行结果都有可能不同）。里面我写了个可视化结果的函数，但只能在二维的数据上面使用。直接贴代码：

kmeans.py

1. #################################################
2. # kmeans: k-means cluster
3. # Author : zouxy
4. # Date   : 2013-12-25
5. # HomePage : http://blog.****.net/zouxy09
6. # Email  : [e-mail]
7. #################################################
8. from numpy import *
9. import time
10. import matplotlib.pyplot as plt
11. # calculate Euclidean distance
12. def euclDistance(vector1, vector2):
13. return sqrt(sum(power(vector2 - vector1,
    2)))
14. # init centroids with random samples
15. def initCentroids(dataSet, k):
16. numSamples, dim = dataSet.shape
17. centroids = zeros((k, dim))
18. for i in range(k):
19. index = int(random.uniform(0, numSamples))
20. centroids[i, :] = dataSet[index, :]
21. return centroids
22. # k-means cluster
23. def kmeans(dataSet, k):
24. numSamples = dataSet.shape[0]
25. # first column stores which cluster this sample belongs to,
26. # second column stores the error between this sample and its centroid
27. clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
28. clusterChanged = True
29. ## step 1: init centroids
30. centroids = initCentroids(dataSet, k)
31. while clusterChanged:
32. clusterChanged = False
33. ## for each sample
34. for i in xrange(numSamples):
35. minDist  = 100000.0
36. minIndex = 0
37. ## for each centroid
38. ## step 2: find the centroid who is closest
39. for j in range(k):
40. distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
41. if distance < minDist:
42. minDist  = distance
43. minIndex = j
44. ## step 3: update its cluster
45. if clusterAssment[i,
    0] != minIndex:
46. clusterChanged = True
47. clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2
48. ## step 4: update centroids
49. for j in range(k):
50. pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:,
    0].A == j)[0]]
51. centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis =
    0)
52. print 'Congratulations, cluster complete!'
53. return centroids, clusterAssment
54. # show your cluster only available with 2-D data
55. def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
56. numSamples, dim = dataSet.shape
57. if dim != 2:
58. print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
59. return 1
60. mark = ['or', 'ob',
    'og', 'ok',
    '^r', '+r',
    'sr', 'dr',
    '<r', 'pr']
61. if k > len(mark):
62. print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
63. return 1
64. # draw all samples
65. for i in xrange(numSamples):
66. markIndex = int(clusterAssment[i,
    0])
67. plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i,
    1], mark[markIndex])
68. mark = ['Dr', 'Db',
    'Dg', 'Dk',
    '^b', '+b',
    'sb', 'db',
    '<b', 'pb']
69. # draw the centroids
70. for i in range(k):
71. plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i,
    1], mark[i], markersize = 12)
72. plt.show()

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.****.net/zouxy09
# Email  : [e-mail]
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt

# calculate Euclidean distance
def euclDistance(vector1, vector2):
	return sqrt(sum(power(vector2 - vector1, 2)))

# init centroids with random samples
def initCentroids(dataSet, k):
	numSamples, dim = dataSet.shape
	centroids = zeros((k, dim))
	for i in range(k):
		index = int(random.uniform(0, numSamples))
		centroids[i, :] = dataSet[index, :]
	return centroids

# k-means cluster
def kmeans(dataSet, k):
	numSamples = dataSet.shape[0]
	# first column stores which cluster this sample belongs to,
	# second column stores the error between this sample and its centroid
	clusterAssment = mat(zeros((numSamples, 2)))
	clusterChanged = True

	## step 1: init centroids
	centroids = initCentroids(dataSet, k)

	while clusterChanged:
		clusterChanged = False
		## for each sample
		for i in xrange(numSamples):
			minDist  = 100000.0
			minIndex = 0
			## for each centroid
			## step 2: find the centroid who is closest
			for j in range(k):
				distance = euclDistance(centroids[j, :], dataSet[i, :])
				if distance < minDist:
					minDist  = distance
					minIndex = j

			## step 3: update its cluster
			if clusterAssment[i, 0] != minIndex:
				clusterChanged = True
				clusterAssment[i, :] = minIndex, minDist**2

		## step 4: update centroids
		for j in range(k):
			pointsInCluster = dataSet[nonzero(clusterAssment[:, 0].A == j)[0]]
			centroids[j, :] = mean(pointsInCluster, axis = 0)

	print 'Congratulations, cluster complete!'
	return centroids, clusterAssment

# show your cluster only available with 2-D data
def showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment):
	numSamples, dim = dataSet.shape
	if dim != 2:
		print "Sorry! I can not draw because the dimension of your data is not 2!"
		return 1

	mark = ['or', 'ob', 'og', 'ok', '^r', '+r', 'sr', 'dr', '<r', 'pr']
	if k > len(mark):
		print "Sorry! Your k is too large! please contact Zouxy"
		return 1

	# draw all samples
	for i in xrange(numSamples):
		markIndex = int(clusterAssment[i, 0])
		plt.plot(dataSet[i, 0], dataSet[i, 1], mark[markIndex])

	mark = ['Dr', 'Db', 'Dg', 'Dk', '^b', '+b', 'sb', 'db', '<b', 'pb']
	# draw the centroids
	for i in range(k):
		plt.plot(centroids[i, 0], centroids[i, 1], mark[i], markersize = 12)

	plt.show()

三、测试结果

测试数据是二维的，共80个样本。有4个类。如下：

testSet.txt

1. 1.658985    4.285136
2. -3.453687   3.424321
3. 4.838138    -1.151539
4. -5.379713   -3.362104
5. 0.972564    2.924086
6. -3.567919   1.531611
7. 0.450614    -3.302219
8. -3.487105   -1.724432
9. 2.668759    1.594842
10. -3.156485   3.191137
11. 3.165506    -3.999838
12. -2.786837   -3.099354
13. 4.208187    2.984927
14. -2.123337   2.943366
15. 0.704199    -0.479481
16. -0.392370   -3.963704
17. 2.831667    1.574018
18. -0.790153   3.343144
19. 2.943496    -3.357075
20. -3.195883   -2.283926
21. 2.336445    2.875106
22. -1.786345   2.554248
23. 2.190101    -1.906020
24. -3.403367   -2.778288
25. 1.778124    3.880832
26. -1.688346   2.230267
27. 2.592976    -2.054368
28. -4.007257   -3.207066
29. 2.257734    3.387564
30. -2.679011   0.785119
31. 0.939512    -4.023563
32. -3.674424   -2.261084
33. 2.046259    2.735279
34. -3.189470   1.780269
35. 4.372646    -0.822248
36. -2.579316   -3.497576
37. 1.889034    5.190400
38. -0.798747   2.185588
39. 2.836520    -2.658556
40. -3.837877   -3.253815
41. 2.096701    3.886007
42. -2.709034   2.923887
43. 3.367037    -3.184789
44. -2.121479   -4.232586
45. 2.329546    3.179764
46. -3.284816   3.273099
47. 3.091414    -3.815232
48. -3.762093   -2.432191
49. 3.542056    2.778832
50. -1.736822   4.241041
51. 2.127073    -2.983680
52. -4.323818   -3.938116
53. 3.792121    5.135768
54. -4.786473   3.358547
55. 2.624081    -3.260715
56. -4.009299   -2.978115
57. 2.493525    1.963710
58. -2.513661   2.642162
59. 1.864375    -3.176309
60. -3.171184   -3.572452
61. 2.894220    2.489128
62. -2.562539   2.884438
63. 3.491078    -3.947487
64. -2.565729   -2.012114
65. 3.332948    3.983102
66. -1.616805   3.573188
67. 2.280615    -2.559444
68. -2.651229   -3.103198
69. 2.321395    3.154987
70. -1.685703   2.939697
71. 3.031012    -3.620252
72. -4.599622   -2.185829
73. 4.196223    1.126677
74. -2.133863   3.093686
75. 4.668892    -2.562705
76. -2.793241   -2.149706
77. 2.884105    3.043438
78. -2.967647   2.848696
79. 4.479332    -1.764772
80. -4.905566   -2.911070

1.658985	4.285136
-3.453687	3.424321
4.838138	-1.151539
-5.379713	-3.362104
0.972564	2.924086
-3.567919	1.531611
0.450614	-3.302219
-3.487105	-1.724432
2.668759	1.594842
-3.156485	3.191137
3.165506	-3.999838
-2.786837	-3.099354
4.208187	2.984927
-2.123337	2.943366
0.704199	-0.479481
-0.392370	-3.963704
2.831667	1.574018
-0.790153	3.343144
2.943496	-3.357075
-3.195883	-2.283926
2.336445	2.875106
-1.786345	2.554248
2.190101	-1.906020
-3.403367	-2.778288
1.778124	3.880832
-1.688346	2.230267
2.592976	-2.054368
-4.007257	-3.207066
2.257734	3.387564
-2.679011	0.785119
0.939512	-4.023563
-3.674424	-2.261084
2.046259	2.735279
-3.189470	1.780269
4.372646	-0.822248
-2.579316	-3.497576
1.889034	5.190400
-0.798747	2.185588
2.836520	-2.658556
-3.837877	-3.253815
2.096701	3.886007
-2.709034	2.923887
3.367037	-3.184789
-2.121479	-4.232586
2.329546	3.179764
-3.284816	3.273099
3.091414	-3.815232
-3.762093	-2.432191
3.542056	2.778832
-1.736822	4.241041
2.127073	-2.983680
-4.323818	-3.938116
3.792121	5.135768
-4.786473	3.358547
2.624081	-3.260715
-4.009299	-2.978115
2.493525	1.963710
-2.513661	2.642162
1.864375	-3.176309
-3.171184	-3.572452
2.894220	2.489128
-2.562539	2.884438
3.491078	-3.947487
-2.565729	-2.012114
3.332948	3.983102
-1.616805	3.573188
2.280615	-2.559444
-2.651229	-3.103198
2.321395	3.154987
-1.685703	2.939697
3.031012	-3.620252
-4.599622	-2.185829
4.196223	1.126677
-2.133863	3.093686
4.668892	-2.562705
-2.793241	-2.149706
2.884105	3.043438
-2.967647	2.848696
4.479332	-1.764772
-4.905566	-2.911070

测试代码：

test_kmeans.py

1. #################################################
2. # kmeans: k-means cluster
3. # Author : zouxy
4. # Date   : 2013-12-25
5. # HomePage : http://blog.****.net/zouxy09
6. # Email  : [e-mail]
7. #################################################
8. from numpy import *
9. import time
10. import matplotlib.pyplot as plt
11. ## step 1: load data
12. print "step 1: load data..."
13. dataSet = []
14. fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
15. for line in fileIn.readlines():
16. lineArr = line.strip().split('\t')
17. dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
18. ## step 2: clustering...
19. print "step 2: clustering..."
20. dataSet = mat(dataSet)
21. k = 4
22. centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)
23. ## step 3: show the result
24. print "step 3: show the result..."
25. showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

#################################################
# kmeans: k-means cluster
# Author : zouxy
# Date   : 2013-12-25
# HomePage : http://blog.****.net/zouxy09
# Email  : [e-mail]
#################################################

from numpy import *
import time
import matplotlib.pyplot as plt

## step 1: load data
print "step 1: load data..."
dataSet = []
fileIn = open('E:/Python/Machine Learning in Action/testSet.txt')
for line in fileIn.readlines():
	lineArr = line.strip().split('\t')
	dataSet.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])

## step 2: clustering...
print "step 2: clustering..."
dataSet = mat(dataSet)
k = 4
centroids, clusterAssment = kmeans(dataSet, k)

## step 3: show the result
print "step 3: show the result..."
showCluster(dataSet, k, centroids, clusterAssment)

运行的前后结果是：

不同的类用不同的颜色来表示，其中的大菱形是对应类的均值质心点。

四、算法分析

k-means算法比较简单，但也有几个比较大的缺点：

（1）k值的选择是用户指定的，不同的k得到的结果会有挺大的不同，如下图所示，左边是k=3的结果，这个就太稀疏了，蓝色的那个簇其实是可以再划分成两个簇的。而右图是k=5的结果，可以看到红色菱形和蓝色菱形这两个簇应该是可以合并成一个簇的：

（2）对k个初始质心的选择比较敏感，容易陷入局部最小值。例如，我们上面的算法运行的时候，有可能会得到不同的结果，如下面这两种情况。K-means也是收敛了，只是收敛到了局部最小值：

（3）存在局限性，如下面这种非球状的数据分布就搞不定了：

（4）数据库比较大的时候，收敛会比较慢。

k-means老早就出现在江湖了。所以以上的这些不足也被世人的目光敏锐的捕捉到，并融入世人的智慧进行了某种程度上的改良。例如问题（1）对k的选择可以先用一些算法分析数据的分布，如重心和密度等，然后选择合适的k。而对问题（2），有人提出了另一个成为二分k均值（bisecting k-means）算法，它对初始的k个质心的选择就不太敏感，这个算法我们下一个博文再分析和实现。