非监督学习之k-means聚类算法——Andrew Ng机器学习笔记（九）

写在前面的话

在聚类问题中，我们给定一个训练集，算法根据某种策略将训练集分成若干类。在监督式学习中，训练集中每一个数据都有一个标签，但是在分类问题中没有，所以类似的我们可以将聚类算法称之为非监督式学习算法。这两种算法最大的区别还在于：监督式学习有正确答案，而非监督式学习没有。

比如上面这个训练集，非监督式学习有可能将它分成两类也可能是三类，到底哪种分类正确，因情况而定；有时候即便是给定了情况也不见得就能确定。但是监督式学习就完全不一样。可能随着学习的深入我们的理解会更加的深刻。

算法基本内容

算法的核心目标就是将给定的数据集分成k类，具体做法为：
1、随机选取k个簇中心（cluster centroids）记为 μ 1 ,μ 2 ,...,μ k ∈R n  
2、重复下面过程直到收敛 {
对于每一个样例i，计算其应该属于的类

对于每一个类j，重新计算该类的质心

}

K是我们事先给定的聚类数， c (i)   代表样本i与k个簇中距离最近的那个簇的下标， c (i)   的值是1到k中的一个。质心 μ j   代表我们对属于同一个类的样本中心点的猜测。程序就这样反复进行直到收敛或者簇中心基本不动。
算法过程可以如下图示意，其中k取2：

K-means面对的一个重要问题是如何保证收敛，前面的算法中强调结束条件就是收敛，可以证明的是K-means完全可以保证收敛性。下面我们定性的描述一下收敛性，我们定义畸变函数（distortion function）如下：

J函数表示每个样本点到其质心的距离平方和。K-means是要将J调整到最小。假设当前J没有达到最小值，那么首先可以固定每个簇中心 μ j   ，调整每个样例的所属的类别 c (i)   来让J函数减少，同样，固定 c (i)   ，调整每个簇中心 μ j   也可以使J减小。这两个过程就是内循环中使J单调递减的过程。当J递减到最小时， μ  和 c  也同时收敛。（在理论上，可以有多组不同的 μ  和 c  值能够使得J取得最小值，但这种现象实际上很少见）。其实整体来看，这个算法就是坐标上升算法（参看《监督学习之再聊支持向量机——Andrew Ng机器学习笔记（六）》的标题4）

如果畸变函数J是非凸函数，意味着我们不能保证取得的最小值是全局最小值，也就是说k-means对簇中心初始位置的选取比较敏感，但一般情况下k-means达到的局部最优已经满足需求。但如果你怕陷入局部最优，那么可以选取不同的初始值跑多遍k-means，然后取其中最小的J对应的 μ  和 c  输出。

算法优点

K-Means聚类算法的优点主要集中在:
1. 算法快速、简单;
2. 对大数据集有较高的效率并且是可伸缩性的;
3. 时间复杂度近于线性，而且适合挖掘大规模数据集。K-Means聚类算法的时间复杂度是O(nkt) ,其中n代表数据集中对象的数量，t代表着算法迭代的次数，k代表着簇的数目。

算法缺点

k-means 算法缺点
1. 在 K-means 算法中 K 是事先给定的，这个 K 值的选定是非常难以估计的。很多时候，事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。这也是 K-means 算法的一个不足。有的算法是通过类的自动合并和分裂，得到较为合理的类型数目 K，例如 ISODATA 算法。关于 K-means 算法中聚类数目K 值的确定在文献中，是根据方差分析理论，应用混合 F统计量来确定最佳分类数，并应用了模糊划分熵来验证最佳分类数的正确性。在文献中，使用了一种结合全协方差矩阵的 RPCL 算法，并逐步删除那些只包含少量训练数据的类。而文献中使用的是一种称为次胜者受罚的竞争学习规则，来自动决定类的适当数目。它的思想是：对每个输入而言，不仅竞争获胜单元的权值被修正以适应输入值，而且对次胜单元采用惩罚的方法使之远离输入值。
2. 在 K-means 算法中，首先需要根据初始聚类中心来确定一个初始划分，然后对初始划分进行优化。这个初始聚类中心的选择对聚类结果有较大的影响，一旦初始值选择的不好，可能无法得到有效的聚类结果，这也成为 K-means算法的一个主要问题。对于该问题的解决，许多算法采用遗传算法（GA），例如文献中采用遗传算法（GA）进行初始化，以内部聚类准则作为评价指标。
3. 从 K-means 算法框架可以看出，该算法需要不断地进行样本分类调整，不断地计算调整后的新的聚类中心，因此当数据量非常大时，算法的时间开销是非常大的。所以需要对算法的时间复杂度进行分析、改进，提高算法应用范围。在文献中从该算法的时间复杂度进行分析考虑，通过一定的相似性准则来去掉聚类中心的侯选集。而在文献中，使用的 K-means 算法是对样本数据进行聚类，无论是初始点的选择还是一次迭代完成时对数据的调整，都是建立在随机选取的样本数据的基础之上，这样可以提高算法的收敛速度。

参考资料

1.ISODATA算法http://www.cnblogs.com/huadongw/p/4101422.html
2.Andrew Ng老师的斯坦福公开课
3.百度百科:K-means

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