本文综合了几个相关的*，加了点自己的理解，从比较基础的向量投影和叉积讲起，推导出罗德里格斯旋转公式。公式比较繁杂，如有错误，欢迎评论区指出。
对于向量的三维旋转问题，给定旋转轴和旋转角度，用罗德里格斯（Rodrigues）旋转公式可以得出旋转后的向量。另外，罗德里格斯旋转公式可以用旋转矩阵表示，即将三维旋转的轴-角（axis-angle）表示转变为旋转矩阵表示。
向量投影（Vector projection）
向量a在非零向量b上的向量投影指的是a在平行于向量b的直线上的正交投影。结果是一个平行于b的向量，定义为(mathbf{a}_1=a_1hat{mathbf{b}})，其中，(a_1)是一个标量，称为a在b上的标量投影，(hat{mathbf{b}})是与b同向的单位向量。(a_1=leftVertmathbf{a}rightVertcostheta=mathbf{a}cdot hat{mathbf{b}}=mathbf{a}cdotfrac{mathbf{b}}{leftVertmathbf{b}rightVert})，其中(cdot)表示点积，(leftVertmathbf{a}rightVert)表示a的长度，(theta)表示a和b的夹角。标量投影有正负，正负号与夹角(theta)有关。
有了向量投影(textbf{a}_1)，向量a可以表示为(mathbf{a}=mathbf{a}_1 mathbf{a}_2)，其中(mathbf{a}_2)称为a from b的vector rejection（没找到比较官方的翻译），也即a向正交于b的超平面的正交投影，(mathbf{a}_2=mathbf{a}-mathbf{a}_1=mathbf{a}-(leftVertmathbf{a}rightVertcostheta)hat{mathbf{b}})。下图比较清晰地表示出(mathbf{a})、(mathbf{a}_1)、(mathbf{a}_2)的关系。
图1 Projection of a on b( a1), rejection of a from b( a2)
当(90^{circ}<thetale180^{circ})时，向量投影示意图如图2所示：
图2 大于90°时的向量投影示意图，此时 a 1与 b的方向相反
记号
向量a在b上的向量投影用加粗的(mathbf{a}_1)表示，标量投影用不加粗的(a_1)。有时向量投影和vector rejection分别用(mathbf{a}_{parallelmathbf{b}})和(mathbf{a}_{perpmathbf{b}})表示。
用a和b表示
当(theta)未知时，可通过a和b计算得出，(costheta = frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{leftVertmathbf{a}rightVertleftVertmathbf{b}rightVert})，从而标量投影、向量投影和vector rejection可以分别表示如下：
- 标量投影：
begin{equation}
a_1=leftVertmathbf{a}rightVertcostheta=leftVertmathbf{a}rightVertfrac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{leftVertmathbf{a}rightVertleftVertmathbf{b}rightVert}=frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{leftVertmathbf{b}rightVert}
end{equation} - 向量投影：
begin{equation}
mathbf{a}_1=a_1hat{mathbf{b}}=frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{leftVertmathbf{b}rightVert}frac{mathbf{b}}{leftVertmathbf{b}rightVert}=left(mathbf{a}cdothat{mathbf{b}}right)hat{mathbf{b}}=frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{mathbf{b}cdotmathbf{b}}mathbf{b}
end{equation} - vector rejection：
begin{equation}
mathbf{a}_2=mathbf{a}-mathbf{a}_1=mathbf{a}-frac{mathbf{a}cdotmathbf{b}}{mathbf{b}cdotmathbf{b}}mathbf{b}
end{equation}
叉积
定义
叉积（又称向量积）是三维空间（(mathbb{R}^3)）向量的二元操作，用符号(times)表示，给定两个线性独立的向量a和b，叉积(mathbf{a}timesmathbf{b})的结果是一个向量，这个向量与a、b都正交，也就是正交于a、b所在的平面。为什么要强调线性独立呢，因为非线性独立的两个向量（同向或反向）的叉积为(mathbf{0})。
叉积定义为：
begin{equation}
mathbf{a}timesmathbf{b}=leftVertmathbf{a}rightVertleftVertmathbf{b}rightVertsin(theta)mathbf{n}
end{equation}
其中， (theta)表示 a、 b的夹角， (0^circlethetale180^circ)， (mathbf{n})正交于 a、 b所在的平面，方向通常由右手法则确定，如下图所示：
图3 通过右手法则确定叉积方向
性质
右手法则决定了叉积不符合交换律，而符合反交换律，即(mathbf{a}timesmathbf{b}=-mathbf{b}timesmathbf{a})，如图4所示：
图4 反交换律
由公式也可以看出当a、b的不线性独立时，即夹角为(0^circ)或(180^circ)时，叉积为零向量(mathbf{0})。叉积随夹角(theta)的变化如图5所示。
图5 叉积随夹角变化示意图
另外，叉积符合分配律，即(mathbf{a}times(mathbf{b} mathbf{c})=mathbf{a}timesmathbf{b} mathbf{a}timesmathbf{c})。如图6所示，左图向量b和c都被分解为vector projection和vector rejection两部分，右图则解释了分配律成立的原因，看图时要注意图中的平行四边形和正方形都表示了相等的关系。
图6 叉积分配律示意图
坐标表示
考虑右手法则定义的标准三维坐标系，三个坐标轴(mathbf{i})、(mathbf{j})、(mathbf{{k}})如图7所示，并满足以下等式关系：
[ mathbf{i}timesmathbf{j}=mathbf{k}\mathbf{j}timesmathbf{k}=mathbf{i}\mathbf{k}timesmathbf{i}=mathbf{j} ]
同样，由叉积的反交换律可得下面三个等式关系：
[ mathbf{j}timesmathbf{i}=-mathbf{k}\mathbf{k}timesmathbf{j}=-mathbf{i}\mathbf{i}timesmathbf{k}=-mathbf{j} ]
由平行向量的叉积为零向量可得：(mathbf{i}timesmathbf{i}=mathbf{j}timesmathbf{j}=mathbf{k}timesmathbf{k}=mathbf{0})。
由图7也可得，任意一个三维向量都可以表示为三个基向量的线性组合，例如：
[ mathbf{a}=a_1mathbf{i} a_2mathbf{j} a_3mathbf{k}\mathbf{b}=b_1mathbf{i} b_2mathbf{j} b_2mathbf{k} ]
图7 三维坐标系基向量与向量
a的表示
进而，可以用坐标表示叉积运算如下：
begin{equation} begin{split} mathbf{a}timesmathbf{b}&=(a_1mathbf{i} a_2mathbf{j} a_3mathbf{k})times(b_1mathbf{i} b_2mathbf{j} b_2mathbf{k})&=(a_2b_3-a_3b_2)mathbf{i} (a_3b_1-a_1b_3)mathbf{j} (a_1b_2-a_2b_1)mathbf{k}&=left|begin{array}{cccc} i & j & k \ a_1 & a_2 & a_3\ b_1 & b_2 & b_3 end{array}right| end{split} end{equation}
上式中，将括号展开分别进行叉积推导出第二个等号，而第三个等号则可通过行列式计算得出。
进一步，可将叉积表示为矩阵与向量相乘的形式，由于(mathbf{a}timesmathbf{b}=(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1))，则叉积可表示为：
begin{equation} begin{split} mathbf{a}timesmathbf{b}=left[mathbf{a}right]_timesmathbf{b}=left[begin{array}{cccc} 0 & -a_3 & a_2a_3 & 0 & -a_1-a_2 & a_1 & 0 end{array} right]left[ begin{array}{cc} b_1\b_2\b_3 end{array}right]=left[mathbf{b}right]^T_timesmathbf{a}=left[begin{array}{cccc} 0 & b_3 & -b_2-b_3 & 0 & b_1b_2 & -b_1 & 0 end{array} right]left[ begin{array}{cc} a_1\a_2\a_3 end{array}right] end{split} end{equation}
其中，(left[mathbf{a}right]_times)（slam14讲书上记为(mathbf{a}^wedge)）表示由向量(mathbf{a})得到的反对称矩阵，定义为：
begin{equation} begin{split} left[mathbf{a}right]_times=left[begin{array}{cccc} 0 & -a_3 & a_2a_3 & 0 & -a_1-a_2 & a_1 & 0 end{array} right] end{split} end{equation}
通过该反对称矩阵的定义可以将叉积表示为矩阵与向量的乘法。
罗德里格斯旋转公式
考虑(mathbf{v}inmathbb{R}^3)的三维旋转问题，旋转轴(mathbf{k})是单位向量，旋转角为(theta)，按照右手法则（即逆时针）旋转。则可通过罗德里格斯旋转公式得出旋转后的向量(mathbf{v}_{rot})为：
begin{equation} mathbf{v}_{rot}=costhetamathbf{v} (1-costheta)(mathbf{k}cdotmathbf{v})mathbf{k} sinthetamathbf{k}timesmathbf{v} end{equation}
推导过程
由上文中向量投影部分的知识我们知道，一个向量(mathbf{v})可以分解为平行于(mathbf{k})的分量(mathbf{v}_parallel)和正交于(mathbf{k})的分量(mathbf{v}_{perp})：
begin{equation} mathbf{v}=mathbf{v}_{parallel} mathbf{v}_perp end{equation}
图8 向量的分解图示
如图8所示，因为(mathbf{k})为单位向量，由向量投影部分知识可得
begin{equation} mathbf{v}_parallel=(mathbf{v}cdotmathbf{k})mathbf{k} end{equation}
begin{equation} mathbf{v}_perp=mathbf{v}-mathbf{v}_parallel=mathbf{v}-(mathbf{k}cdotmathbf{v})mathbf{k}=-mathbf{k}times(mathbf{k}timesmathbf{v}) end{equation}
关于上式最后一个等号的推导如下：
回顾叉积的知识，(mathbf{k}timesmathbf{v}=mathbf{k}times(mathbf{v}_{parallel} mathbf{v}_perp)=mathbf{0} mathbf{k}timesmathbf{v}_perp=mathbf{k}timesmathbf{v}_perp)，(mathbf{k}timesmathbf{v})可以看做将(mathbf{v}_perp)以(mathbf{k})为旋转轴逆时针旋转了(90^circ)。正如图9所示，(mathbf{v})分解为(mathbf{v}_parallel)和(mathbf{v}_perp)，用右手法则不难确定出(mathbf{k}timesmathbf{v})的方向，进而不难发现，(mathbf{k}times(mathbf{k}timesmathbf{v}))可以看做将(mathbf{v}_perp)以(mathbf{k})为旋转轴逆时针旋转了(180^circ)，图9中的(椭)圆正反映了(mathbf{k}times(mathbf{k}timesmathbf{v}))、(mathbf{k}timesmathbf{v})、(mathbf{v}_perp)三者“大小相等”的关系。最终，可知(mathbf{v}_perp=-mathbf{k}times(mathbf{k}timesmathbf{v}))。
图9 罗德里格斯旋转公式几何图示
从图8还可以看出，v的平行分量(mathbf{v}_parallel)不会因为旋转而改变，旋转后的向量(mathbf{v}_{rot})的平行分量依然等于(mathbf{v}_parallel)，即(mathbf{v}_{parallel rot}=mathbf{v}_parallel)。
而v的正交分量(mathbf{v}_perp)在旋转过程中大小不变，方向会发生变化，即
begin{equation} begin{split} &|mathbf{v}_{perp rot}|=|mathbf{v}_perp|&mathbf{v}_{perp rot}=costhetamathbf{v}_perp sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}_perp=costhetamathbf{v}_perp sinthetamathbf{k}timesmathbf{v} end{split} end{equation}
上述第2个等式通过图9可以得出，将圆看做(xOy)坐标系平面，(mathbf{v}_perp)所在的直线看做(x)轴，(mathbf{k}timesmathbf{v})所在的直线看做(y)轴，结合三角函数，很容易用(mathbf{v}_perp)和(mathbf{k}timesmathbf{v})表示出(mathbf{v}_perp)。
到这已经得出罗德里格斯公式了：
begin{equation} begin{split} mathbf{v}_{rot}&=mathbf{v}_{parallel rot} mathbf{v}_{perp rot}&=mathbf{v}_parallel costhetamathbf{v}_perp sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}&=mathbf{v}_parallel costheta(mathbf{v}-mathbf{v}_parallel) sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}&=costhetamathbf{v} (1-costheta)mathbf{v}_parallel sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}&=costhetamathbf{v} (1-costheta)(mathbf{k}cdotmathbf{v})mathbf{k} sinthetamathbf{k}timesmathbf{v} end{split} end{equation}
矩阵形式
在叉积部分提到过叉积可以表示为矩阵乘向量的形式，类似地，罗德里格斯旋转公式可以表示为旋转矩阵乘以向量的形式，(mathbf{v}_{rot}=mathbf{R}mathbf{v})，其中(mathbf{R})是旋转矩阵。在slam14讲(^{[4]})中的表示如下：
begin{equation}
mathbf{R}=costhetamathbf{I} (1-costheta)mathbf{k}mathbf{k}^T sinthetamathbf{k}^wedge
end{equation}
其中，(mathbf{I})表示单位矩阵，(mathbf{k})表示旋转向量（书中用(mathbf{n})表示旋转向量），(mathbf{k}^wedge)表示由(mathbf{k})得到的反对称矩阵。从式(13)不难看出上式，另外，结合式(13)还可以得到下面这个式子：
begin{equation} begin{split} mathbf{v}_{rot}&=mathbf{v}_{parallel rot} mathbf{v}_{perp rot}&=mathbf{v}_parallel costhetamathbf{v}_perp sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}&=mathbf{v}-mathbf{v}_perp costhetamathbf{v}_perp sinthetamathbf{k}timesmathbf{v}&=mathbf{v} (sintheta)mathbf{k}timesmathbf{v} (1-costheta)mathbf{k}timesmathbf{k}timesmathbf{v} end{split} end{equation}
从而，得出这个*上的矩阵表示：
begin{equation} begin{split} mathbf{v}_{rot}=mathbf{R}mathbf{v}=mathbf{v} (sintheta)mathbf{K}mathbf{v} (1-costheta)mathbf{K}^2mathbf{v} end{split} end{equation}
其中，(mathbf{R}=mathbf{I} (sintheta)mathbf{K} (1-costheta)mathbf{K}^2)，(mathbf{K})表示由旋转向量(mathbf{k})生成的反对称矩阵。
参考：
[1] Rodrigues‘ rotation formula
[2] Cross product
[3] Vector projection
[4] 视觉SLAM十四讲：从理论到实践