深度学习方法：受限玻尔兹曼机RBM（三）模型求解，Gibbs sampling

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接下来重点讲一下RBM模型求解方法，其实用的依然是梯度优化方法，但是求解需要用到随机采样的方法，常见的有：Gibbs Sampling和对比散度(contrastive divergence, CD[8])算法。

RBM目标函数

假设给定的训练集合是 S={vi} ，总数是 ns ，其中每个样本表示为 vi=(vi1,vi2,…,vinv) ，且都是独立同分布i.i.d的。RBM采用最大似然估计，即最大化
lnLS=ln∏i=1nsP(vi)=∑i=1nslnP(vi)

参数表示为 θ=(W,a,b) ，因此统一的参数更新表达式为：
θ=θ+η∂lnLS∂θ
其中， η 表示学习速率。因此，很明显，只要我们可以求解出参数的梯度，我们就可以求解RMB模型了。我们先考虑任意单个训练样本（ v0 ）的情况，即
LS=lnP(v0)=ln(1Z∑he−E(v0,h))=ln∑he−E(v0,h)−ln∑v,he−E(v,h)
其中 v 表示任意的训练样本，而 v0 则表示一个特定的样本。

∂LS∂θ=∂lnP(v0)∂θ=∂∂θ(ln∑he−E(v0,h))−∂∂θ(ln∑v,he−E(v,h))=−1∑he−E(v0,h)∑he−E(v0,h)∂E(v0,h)∂θ+1∑v,he−E(v,h)∑v,he−E(v,h)∂E(v,h)∂θ=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂θ+∑v,hP(h,v)∂E(v,h)∂θ
（其中第3个等式左边内条件概率 P(h|v0) ，因为 e−E(v0,h)∑he−E(v0,h)=e−E(v0,h)/Z∑he−E(v0,h)/Z=P(v0,h)P(v0)=P(h|v0) ）

上面式子的两个部分的含义是期望——左边是梯度 ∂E(v0,h)∂θ 在条件概率分布 P(h|v0) 下的期望；右边是梯度 ∂E(v,h)∂θ 在联合概率分布 P(h,v) 下的期望。要求前面的条件概率是比较容易一些的，而要求后面的联合概率分布是非常困难的，因为它包含了归一化因子 Z （对所有可能的取值求和，连续的情况下是积分），因此我们采用一些随机采样来近似求解。把上面式子再推导一步，可以得到，

∂LS∂θ=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂θ+∑vP(v)∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ

因此，我们重点就是需要就算 ∑hP(h|v)∂E(v,h)∂θ ，特别的，针对参数 W,a,b 来说，有

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wij=−∑hP(h|v)hivj=−∑hP(hi|v)P(h−i|v)hivj=−∑hiP(hi|v)∑h−iP(h−i|v)hivj=−∑hiP(hi|v)hivj=−(P(hi=1|v)⋅1⋅vj+P(hi=0|v)⋅0⋅vj)=−P(hi=1|v)vj

类似的，我们可以很容易得到：

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂ai=−vi

∑hP(h|v)∂E(v,h)∂bj=−P(hi=1|v)

于是，我们很容易得到，
∂lnP(v0)∂wij=−∑hP(h|v0)∂E(v0,h)∂wij+∑vP(v)∑hP(h|v)∂E(v,h)∂wij=P(hi=1|v0)v0j−∑vP(v)P(hi=1|v)vj

∂lnP(v0)∂ai=v0i−∑vP(v)vi

∂lnP(v0)∂bi=P(hi=1|v0)−∑vP(v)P(hi=1|v)

上面求出了一个样本的梯度，对于 ns 个样本有

∂LS∂wij=∑m=1ns[P(hi=1|vm)vmj−∑vP(v)P(hi=1|v)vj]

∂LS∂ai=∑m=1ns[vmi−∑vP(v)vi]

∂LS∂bi=∑m=1ns[P(hi=1|vm)−∑vP(v)P(hi=1|v)]

到这里就比较明确了，主要就是要求出上面三个梯度；但是因为不好直接求概率分布 P(v) ，前面分析过，计算复杂度非常大，因此采用一些随机采样的方法来得到近似的解。看这三个梯度的第二项实际上都是求期望，而我们知道，样本的均值是随机变量期望的无偏估计。

Gibbs Sampling

很多资料都有提到RBM可以用Gibbs Sampling来做，但是具体怎么做不讲（是不是有点蛋疼？），可能很多人也不清楚到底怎么做。下面稍微介绍一下。

吉布斯采样（Gibbs sampling），是MCMC方法的一种，具体可以看我前面整理的随机采样MCMC的文章。总的来说，Gibbs采样可以从一个复杂概率分布 P(X) 下生成数据，只要我们知道它每一个分量的相对于其他分量的条件概率 P(Xk|X−k) ，就可以对其进行采样。而RBM模型的特殊性，隐藏层神经元的状态只受可见层影响（反之亦然），而且同一层神经元之间是相互独立的，那么就可以根据如下方法依次采样：

也就是说 hi 是以概率 P(hi|v0) 为1，其他的都类似。这样当我们迭代足够次以后，我们就可以得到满足联合概率分布 P(v,h) 下的样本 (v,h) ，其中样本 (v) 可以近似认为是 P(v) 下的样本，下图也说明了这个迭代采样的过程：

有了样本 (v) 就可以求出上面写到的三个梯度（ ∂LS∂wij,∂LS∂ai,∂LS∂bi ）了，用梯度上升就可以对参数进行更新了。（实际中，可以在k次迭代以后，得到样本集合{ v }，比如迭代100次取后面一半，带入上面梯度公式的后半部分计算平均值。）

看起来很简单是不是？但是问题是，每一次gibbs采样过程都需要反复迭代很多次以保证马尔科夫链收敛，而这只是一次梯度更新，多次梯度更新需要反复使用gibbs采样，使得算法运行效率非常低。为了加速RBM的训练过程，Hinton等人提出了对比散度（Contrastive Divergence）方法，大大加快了RBM的训练速度，将在下一篇重点讲一下。

OK，本篇先到这里。平时工作比较忙，加班什么的（IT的都这样），晚上回到家比较晚，每天只能挤一点点时间写，写的比较慢，见谅。RBM这一块可以看的资料很多，网上一搜一大堆，还包括hinton的一些论文和Bengio的综述[9]，不过具体手写出来的思路还是借鉴了[7]，看归看，我会自己推导并用自己的语言写出来，大家有什么问题都可以留言讨论。下一篇最后讲一下CD算法，后面有时间再拿code出来剖析一下。

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参考资料
[1] http://www.chawenti.com/articles/17243.html
[2] 张春霞，受限波尔兹曼机简介
[3] http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/27/2984725.html
[4] http://deeplearning.net/tutorial/rbm.html
[5] Asja Fischer, and Christian Igel，An Introduction to RBM
[6] G.Hinton, A Practical Guide to Training Restricted Boltzmann Machines
[7] http://blog.csdn.net/itplus/article/details/19168937
[8] G.Hinton, Training products of experts by minimizing contrastive divergence, 2002.
[9] Bengio, Learning Deep Architectures for AI, 2009