Floyd最短路径算法

时间:2022-11-25 21:18:15

Floyd-Warshall算法,简称Floyd算法,用于求解任意两点间的最短距离,时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下:

 void Floyd(){
     int i,j,k;
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++)
                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
 }

注意下第6行这个地方,如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在,程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]

#include <iostream>
  using namespace std;

  const int INF = 100000;
  int n=10,map[11][11],dist[11][11][11];
  void init(){
      int i,j;
      for(i=1;i<=n;i++)
          for(j=1;j<=n;j++)
             map[i][j]=(i==j)?0:INF;
     map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
     map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
     map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
     map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
     map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
 }
 void floyd_dp(){
     int i,j,k;
     for(i=1;i<=n;i++)
         for(j=1;j<=n;j++)
             dist[i][j][0]=map[i][j];
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++){
                 dist[i][j][k]=dist[i][j][k-1];
                 if(dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]<dist[i][j][k])
                     dist[i][j][k]=dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1];
             }
 }
 int main(){
     int k,u,v;
     init();
     floyd_dp();
     while(cin>>u>>v,u||v){
         for(k=0;k<=n;k++){
             if(dist[u][v][k]==INF) cout<<"+∞"<<endl;
             else cout<<dist[u][v][k]<<endl;
         }
     }
     return 0;
 }

输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径,还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程,程序中的图依然对应上面的有向图。

 #include <iostream>
  using namespace std;

  const int INF = 100000;
  int n=10,path[11][11],dist[11][11],map[11][11];
  void init(){
      int i,j;
      for(i=1;i<=n;i++)
          for(j=1;j<=n;j++)
             map[i][j]=(i==j)?0:INF;
     map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
     map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
     map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
     map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
     map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
 }
 void floyd(){
     int i,j,k;
     for(i=1;i<=n;i++)
         for(j=1;j<=n;j++)
             dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;
     for(k=1;k<=n;k++)
         for(i=1;i<=n;i++)
             for(j=1;j<=n;j++)
                 if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
                     dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j],path[i][j]=k;
 }
 void output(int i,int j){
    if(i==j) return;
     if(path[i][j]==0) cout<<j<<' ';
     else{
         output(i,path[i][j]);
         output(path[i][j],j);
     }
 }
 int main(){
     int u,v;
     init();
     floyd();
     while(cin>>u>>v,u||v){
         if(dist[u][v]==INF) cout<<"No path"<<endl;
         else{
             cout<<u<<' ';
             output(u,v);
             cout<<endl;
        }
     }
     return 0;
 }

输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3

在程序的调试过程中发现path[i][j]里存放的值是i节点到j节点的最短路径中节点编号最大的值 ,而不是j节点的前驱节点,因为floyd算法中k在最外层循环,k的值从小到大 ,不断尝试经过k节点是否比原来i到j的距离要小。