Floyd-Warshall算法,简称Floyd算法,用于求解任意两点间的最短距离,时间复杂度为O(n^3)。我们平时所见的Floyd算法的一般形式如下:
void Floyd(){
int i,j,k;
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j];
}
注意下第6行这个地方,如果dist[i][k]或者dist[k][j]不存在,程序中用一个很大的数代替。最好写成if(dist[i][k]!=INF && dist[k][j]!=INF && dist[i][k]+dist[k][j]
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 100000;
int n=10,map[11][11],dist[11][11][11];
void init(){
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=(i==j)?0:INF;
map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
}
void floyd_dp(){
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
dist[i][j][0]=map[i][j];
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++){
dist[i][j][k]=dist[i][j][k-1];
if(dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1]<dist[i][j][k])
dist[i][j][k]=dist[i][k][k-1]+dist[k][j][k-1];
}
}
int main(){
int k,u,v;
init();
floyd_dp();
while(cin>>u>>v,u||v){
for(k=0;k<=n;k++){
if(dist[u][v][k]==INF) cout<<"+∞"<<endl;
else cout<<dist[u][v][k]<<endl;
}
}
return 0;
}
输入 1 3
输出 +∞
+∞
+∞
+∞
28
10
10
10
9
9
9
Floyd-Warshall算法不仅能求出任意2点间的最短路径,还可以保存最短路径上经过的节点。下面用精简版的Floyd算法实现这一过程,程序中的图依然对应上面的有向图。
#include <iostream>
using namespace std;
const int INF = 100000;
int n=10,path[11][11],dist[11][11],map[11][11];
void init(){
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=(i==j)?0:INF;
map[1][2]=2,map[1][4]=20,map[2][5]=1;
map[3][1]=3,map[4][3]=8,map[4][6]=6;
map[4][7]=4,map[5][3]=7,map[5][8]=3;
map[6][3]=1,map[7][8]=1,map[8][6]=2;
map[8][10]=2,map[9][7]=2,map[10][9]=1;
}
void floyd(){
int i,j,k;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
dist[i][j]=map[i][j],path[i][j]=0;
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
if(dist[i][k]+dist[k][j]<dist[i][j])
dist[i][j]=dist[i][k]+dist[k][j],path[i][j]=k;
}
void output(int i,int j){
if(i==j) return;
if(path[i][j]==0) cout<<j<<' ';
else{
output(i,path[i][j]);
output(path[i][j],j);
}
}
int main(){
int u,v;
init();
floyd();
while(cin>>u>>v,u||v){
if(dist[u][v]==INF) cout<<"No path"<<endl;
else{
cout<<u<<' ';
output(u,v);
cout<<endl;
}
}
return 0;
}
输入 1 3
输出 1 2 5 8 6 3
在程序的调试过程中发现path[i][j]里存放的值是i节点到j节点的最短路径中节点编号最大的值 ,而不是j节点的前驱节点,因为floyd算法中k在最外层循环,k的值从小到大 ,不断尝试经过k节点是否比原来i到j的距离要小。