0） 引论
正如名字所言，最短路径算法就是为了找到一个图中，某一个点到其他点的最短路径或者是距离。
最短路径算法一般分为四种情况：
a） 无权重的最短路径
b） 有权重的最短路径
c） 边的权重为负的图
d） 无圈的图
ps：上面的情况针对的都是有向图。
1） 无权重的最短路径
下图是一个例子：假设我们取点v3作为初始点，计算点v3到图中所有点的路径以及距离（包括点v3）。
a） v3到v3的路径长为0。
b） 沿着v3的邻接点查找，找到v1，那么v3到v1的路径长为1；找到v6，那么v3到v6的路径长为1。
c） v3的邻接点已经找完了，接下来找v1，v6的邻接点。
d） v1的邻接点为v2，v4，它们对应的路经长为2；v6无邻接点，v6部分结束。
e） v2的邻接点为v4，v5，而v4已经查找过了，舍弃；v2到v5的路径长为3；v4的邻接点为v5，v7，而v5已经查找过了，舍弃；v4到v7的路径长为3。
f） 至此，结束。
对于这一步骤，可以用一个表格来表示，以便于编程理解：
表中有3个表示状态的变量：
a） dv表示点s到图中每个点的距离，结合上面的例子，s=v3.
b） pv表示图中点的路径前继点。
c） Known表示点是否被处理，处理了，则标记为1 。
伪代码：
void Unweighted(Table T)
{
int CurrDist;
Vertex V,W;
for(CurrDist=0;CurrDist<NumVertex;CurrDist++)
{
for each vertex V
if(!T[V].Known&&T[V].Dist==CurrDist)
{
T[V].Known = True;
for each W adjacent to V
if(T[W].Dist == Infinity)
{
T[W].Dist = CurrDist+1;
T[W].Path = V;
}
}
}
}
通拓扑排序一样，对于上面的程序也是存在改进的地方的（第07行），我们没有必要去对each vertex V做一下这么多的步骤，只需要对相邻接的点做就好了。因此用一个队列来使每一个处理的点入队，然后处理其邻接的点。
void Unweighted(Table T)
{
Queue Q;
Vertex V,W;
Q = CreateQueue(NumVertex);
MakeEmpty(Q);
Enqueue(S,Q);//S is the start Vertex
while(!IsEmpty(Q))
{
V = Dequeue(Q);
T[V].Known=True;
for each W adjacent to V
if(T[W].Dist == Infinity)
{
T[W].Dist = T[V].Dist+1;
T[W].Path = V;
Enqueue(W,Q);
}
}
Free(Q);
}
2） 有权重的最短路径
有权重的最短路径算法，称之为Dijkstra‘s algorithm。相对于无权重的最短路径算法，有权重的最短路径算法会显得难一点，这是因为权重的引入会使某些路径的加权重长度发生颠倒。
Dijkstra‘s algorithm是一种greedy algorithm。贪婪算法就是在算法的每一个阶段都取最大值。一般情况下，贪婪算法能取得较好的效果。但是贪婪算法是有其缺陷的，也就是说能达到局部最优，而未必能达到全局最优，举个例子，假设要兑换15分的硬币，而硬币有12分的，10分的，5分的，1分的，那么根据贪婪算法，最终的兑换结果为1个12分的，3个一分的；而最优结果应该是一个10分的，一个5分的。（这里我们定义最优为硬币个数最少）。
Dijkstra‘s algorithm的步骤是：
对于每一个阶段，Dijkstra‘s algorithm会在所有未处理的点中选取一个最小距离的点v，然后把给定点s到v的路径定义为最小路径。
下面是一个例子：
对应的表的形式表示：
下面是具体的实现说明：
a） 最初的点s=v1；计算s到图中所有点的最短路径。
b） 找到v1邻接的点v2，v4，分别标出s到v2，v4的路径长，同时对v1标注T[v1].Known=1。
c） 由于v4路径长较小，因此选择v4，找到v4邻接的点v3，v5，v6，v7，标注出他们的路径长；同时对v1标注T[v4].Known=1。
d） 现有的所有未处理路径中v2最短，因此处理v2，找到v2邻接的点v4，v5； v2到v4，v5的路径长远大于v4，v5已有的路径长，因此不更新。同时T[v2].Known=1。
e） 现有的所有未处理路径中v3，v5最短，处理v3，邻接点为v1，v6，路径分别为7,8；对于v3到v6的距离，因为8<9，因此需要更新；对于v3到v1的距离不需要更新。同时T[v3].Known=1。
f） 对于v5，邻接点为v7，v5到v7的路径长为 3+6>5，因此不更新；同时T[v5].Known=1。
g） 现在处理v7，v7的邻接点为v6，v7到v6的路径长为5+1<8，因此需要更新；同时T[v7].Known=1。
h） 现在处理v6，v6没有邻接点了，因此可以结束了。同时T[v6].Known=1。
伪代码实现：
typedef int Vertex;相对于无权重的最短路径，这里权重的更新为Dist = Dist + Cvw；
typedef int DistType;
struct TableEntry
{
List Header;
int Known;
DistType Dist;
Vertex Path;
}
#define NotAVertex (-1)
typedef struct TableEntry Table[NumVertex];
void InitTable(Vertex Start,Graph G,Table T)
{
int i;
ReadGraph(G,T);
for(i=0;i<NumVertex;i++)
{
T[i].Known = 0;
T[i].Dist = Infinity;
T[i].Path = NotAVertex;
}
T[Start].Dist = 0;
}
void Dijkstra(Table T)
{
Vertex V,W;
for(;;)
{
V = FindSmallestUnknownDistanceVertex();
if(V==NotAVertex)
break;
T[V].Known = Ture;
for each W adjacent to V
if(!T[V].Known)
if(T[V].Dist+Cvw<T[W].Dist)
{
Decrease(T[W].Dist to T[V].Dist+Cvw);
T[W].Path = V;
}
}
}
3） 边的权重为负的图
边的权重为负，这将是一个比较糟糕的事情，这无法利用上面的两种方法处理，因为只要循环负边，则路径可以无限变小，如下图所示：
点1到点6的最短路径是2么？当然不是，我们没法求出其最短路径，因为我们可以沿着路径1,6,5,7,6这样一次下来，路径为-3，由于6,5,7,6是一个圈，我们可以一直循环下去且路径为负值，因此无法确定点1到点6的最短路径。
那么遇到这种问题该怎么解决呢？
a） 给所有权重加上一个正值，是所有权重均为非负，上面的例子中，所有权重加上11，则就可以应用Dijkstra方法处理了。
4） 无圈的图
对于无圈图，也可以应用Dijkstra方法处理，无圈图也可以看做是上面的一种特例。对于无圈图，可以利用拓扑排序的顺序选择起始点，权重的更新也可以按照拓扑排序的顺序进行，因此算法可以一次进行，这个可以看做是对Dijkstra方法的改进，并且是向简单方向的改进。
无圈图可以模拟像下坡滑雪等问题，一直需要沿着向下的方向，不应该有圈。
而无圈图的最大应用不在这里，而是一个被称之为关键路径分析法的应用。
如下图所示：
这幅图表示的意思是要想做D中的事情，必须先做完A和B，而A,B则是可以并行的。因此这个图中的问题不是寻找最短路径，而是找到并行完成图中的所有点所需要的最短时间，以及最晚的时间。
解决这个问题需要把上面的动作节点图转换为下面的事件节点图
对于事件节点图，只需要找出第一个事件到最后一个事件的最长路径的长就好了。
假设ECi表示节点i的最早完成时间，那么利用下面的法则
最早完成时间结果为：
