【BZOJ-2732】集合选数 状压DP （思路题）

时间：2022-06-02 00:23:44

2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,..., n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,..., n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

Sample Input

4

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

HINT

Source

day2

Solution

一开始真没想到..

就是写一个矩阵

$$\begin{bmatrix}x &  3x&  9x& ...&\\ 2x &  6x&  18x& ...&\\ 4x&  12x&  36x& ...&\\  ...&  ...&  ...&  ...& \end{bmatrix}$$

然后我们发现实际上就是需要求矩阵中，不允许出现相邻的两个数。

因为这个矩阵的列数是$log_{3}$，行数是$log_{2}$的，显然可以状压..

但是有些数并不会出现在这个矩阵中，所以构造完一个后，找下一个没出现过的x重新构造，乘法原理结合起来即可。

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<cmath>

using namespace std;

#define LL long long

inline int read()

{

    int x=,f=; char ch=getchar();

    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}

    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}

    return x*f;

}

#define MAXN 100010

#define P 1000000001

int a[][],N,M,end[];

LL f[][],bin[],ANS=;

bool visit[MAXN];

inline void  Pre(int x)

{

    memset(a,,sizeof(a));

    memset(end,,sizeof(end)); end[]=;

    a[][]=x;

    for (int i=; ; i++)

        if ((a[i-][]<<)<=N) a[i][]=a[i-][]<<; else {M=i-; break;}

    for (int i=; i<=M; i++)

        for (int j=; ; j++)

            if (a[i][j-]*<=N) a[i][j]=a[i][j-]*; else {end[i]=j-; break;}

//    puts("======================================");

//    for (int i=1; i<=M; i++,puts(""))

//        for (int j=1; a[i][j]; j++)

//            printf("%d  ",a[i][j]);

//    puts("======================================");

    for (int i=; i<=M; i++)

        for (int j=; j<=end[i]; j++)

            visit[a[i][j]]=;

//    for (int i=1; i<=M; i++) printf("%d  ",end[i]); puts("");

}

inline LL DP(int x)

{

    Pre(x); memset(f,,sizeof(f)); f[][]=;

    for (int i=; i<=M; i++)

        for (int j=; j<bin[end[i]]; j++)

            if (f[i][j])

                for (int k=; k<bin[end[i+]]; k++)

                    (f[i+][k]=(!(j&k) && !(k&(k>>)))? (f[i][j]+f[i+][k]) : f[i+][k])%=P;

    return f[M+][];

}

int main()

{

    N=read();

    bin[]=; for (int i=; i<=; i++) bin[i]=bin[i-]<<;

    for (int i=; i<=N; i++) if (!visit[i]) (ANS*=DP(i))%=P;

    printf("%lld\n",ANS);

    return ;

}

断断续续写了2节课....一开始边界搞得有问题特别不科学.....这是弱智，

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