[HNOI2012]集合选数
题目描述
《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出\({1,2,3,4,5}\)的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。
同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数，
如何求出\({1,2,3...n}\) 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 \(10^{9}+1\) 取模的结果），现在这个问题就交给你了。
输入格式：
只有一行，其中有一个正整数 \(n\)
30%的数据满足 \(n<=20\)。
100%数据满足 \(n<=100000\)。
输出格式：
仅包含一个正整数，表示\({1, 2,..., n}\)有多少个满足上述约束条件 的子集。
输入样例#1：
4
输出样例#1：
8
样例解释
有8 个集合满足要求，
分别是空集，\({1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}\)。
很妙的一道题。
不妨把2的倍数写作一行，3的倍数写作一列。
比如下面这个矩阵
\begin{bmatrix}
&1 &2 &4 &8 \;\;\\
&3 &6 &12 &24 \;\;\\
&9 &18 &36 &72 \;\;
\end{bmatrix}
可以发现，一行的元素数和列数都不会超过\(\log n\)
因此，考虑状压行\列来\(DP\)
如果这个矩阵中没有涉及到的元素呢？
重新新设一个矩阵来\(DP\)
补充两个数：
\(\log_{2} n = 18\)
\(\log_{3} n = 11\)
最终复杂度为\(O(2^{22}*18)\)（可能不准确）
注意：
状压的那一维一定是3的倍数的那一维，否则复杂度将退化至\(O(11*2^{36})\)（喜闻乐见的我）
模数是\(10^{9}+1\)，不要打错（没错，又是我）
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <bitset>
#define mod (100000001)
#define sid 200050
#define ri register int
using namespace std; inline void up(int &x, int y) {
x += y; if(x >= mod) x -= mod;
} inline void mu(int &x, int y) {
long long tmp = (1ll * x * y) % mod;
x = (int)tmp;
} int n;
bitset <> flag;
int num[][], lim[], bit[];
int dp[][sid], ans = ; inline int Solve(int kp) {
memset(num, , sizeof(num));
num[][] = kp;
for(ri i = ; i <= ; i ++) lim[i] = ;
for(ri i = ; i <= ; i ++)
if(num[][i - ] * <= n) num[][i] = num[][i - ] * ;
for(ri i = ; i <= ; i ++) {
if(num[i - ][] * > n) break;
num[i][] = num[i - ][] * ;
for(ri j = ; j <= ; j ++)
if(num[i][j - ] * <= n) num[i][j] = num[i][j - ] * ;
}
for(ri i = ; i <= ; i ++)
for(ri j = ; j <= ; j ++)
if(num[i][j]) lim[i] |= bit[j - ], flag[num[i][j]] = ;
for(ri i = ; i <= ; i ++)
for(ri j = ; j <= lim[i]; j ++) dp[i][j] = ;
dp[][] = ;
for(ri i = ; i <= ; i ++)
for(ri j = ; j <= lim[i - ]; j ++)
if(dp[i - ][j])
for(ri k = ; k <= lim[i]; k ++)
if((k & (k >> )) == && (j & k) == )
up(dp[i][k], dp[i - ][j]);
return dp[][];
} inline void DP() {
for(ri i = ; i <= ; i ++) bit[i] = << i;
for(ri i = ; i <= n; i ++) if(!flag[i]) mu(ans, Solve(i));
printf("%d\n", ans);
} int main() {
scanf("%d", &n);
DP();
return ;
}
sad