一、定义与性质
定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为:二叉排序树或者是空树.
性质
(1) 二叉排序树中任一结点x,其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
(2) 二叉排序树中,各结点关键字是惟一的。
注意:实际应用中,不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同,所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"大于等于",或将BST性质(2)里的"大于"改为"小于等于",甚至可同时修改这两个性质。
(3) 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
二、插入与删除
插入与删除操作是二叉排序树中最常用也是最重要的两个操作。
插入过程是:
(a)若二叉排序树T为空,则为待插入的关键字key申请一个新结点,并令其为根;
(b)若二叉排序树T不为空,则将key和根的关键字比较:
(i)若二者相等,则说明树中已有此关键字key,无须插入。
(ii)若key<T→key,则将key插入根的左子树中。
(iii)若key>T→key,则将它插入根的右子树中。
子树中的插入过程与上述的树中插入过程相同。如此进行下去,直到将key作为一个新的叶结点的关键字插入到二叉排序树中,或者直到发现树中已有此关键字为止。
删除过程:
(1) 进行查找
查找时,令p指向当前访问到的结点,parent指向其双亲(其初值为NULL)。若树中找不到被删结点则返回,否则被删结点是*p。
(2) 删去*p。
删*p时,应将*p的子树(若有)仍连接在树上且保持BST性质不变。按*p的孩子数目分三种情况进行处理。
删除*p结点的三种情况
a.*p是叶子(即它的孩子数为0)
无须连接*p的子树,只需将*p的双亲*parent中指向*p的指针域置空即可。
b.*p只有一个孩子*child
只需将*child和*p的双亲直接连接后,即可删去*p。
注意:*p既可能是*parent的左孩子也可能是其右孩子,而*child可能是*p的左孩子或右孩子,故共有4种状态。
c.*p有两个孩子
先令q=p,将被删结点的地址保存在q中;然后找*q的中序后继*p,并在查找过程中仍用parent记住*p的双亲位置。*q的中序后继*p一定是*q的右子树中最左下的结点,它无左子树。因此,可以将删去*q的操作转换为删去的*p的操作,即在释放结点*p之前将其数据复制到*q中,就相当于删去了*q。
三、代码清单
- #include<stdio.h>
- #include<stdlib.h>
- #define maxSize 20
- #define maxWidth 20
- typedef int KeyType; //假定关键字类型为整数
- typedef struct node { //结点类型
- KeyType key; //关键字项
- struct node *lchild,*rchild;//左右孩子指针
- } BSTNode,BSTree;
- //typedef BSTNode *BSTree; //BSTree是二叉排序树的类型
- //先序遍历
- void preOrder(BSTree *BT)
- {
- if(BT!= NULL)
- {
- printf("%d-",BT->key);
- preOrder(BT->lchild);
- preOrder(BT->rchild);
- }
- }
- //中序遍历
- void inOrder(BSTree *BT)
- {
- if(BT!= NULL)
- {
- inOrder(BT->lchild);
- printf("%d-",BT->key);
- inOrder(BT->rchild);
- }
- }
- //后序遍历
- void postOrder(BSTree *BT)
- {
- if(BT!= NULL)
- {
- postOrder(BT->lchild);
- postOrder(BT->rchild);
- printf("%d-",BT->key);
- }
- }
- //层次法打印二叉排序树
- /* 以先序遍历的方式打印二叉排序树 */
- void dispTree(BSTree *BT)
- {
- BSTree *stack[maxSize],*p;
- int level[maxSize][2],top,n,i,width=4;
- if(BT!=NULL)
- {
- printf("Display a tree by hollow means.\n");
- top=1;
- stack[top]=BT;//push root point to stack.
- level[top][0]=width;
- while(top>0)
- {
- p=stack[top];
- n=level[top][0];
- for(i=1;i<=n;i++)
- printf(" ");
- printf("%d",p->key);
- for(i=n+1;i<maxWidth;i+=2)
- printf("--");
- printf("\n");
- top--;
- if(p->rchild!=NULL) //右子树先入栈,后出栈
- {
- top++;
- stack[top]=p->rchild;
- level[top][0]=n+width;
- level[top][1]=2;
- }
- if(p->lchild!=NULL) //左子树后入栈,先出栈
- {
- top++;
- stack[top]=p->lchild;
- level[top][0]=n+width;
- level[top][1]=1;
- } //if
- } //while
- } //if
- } //dispTree()
- /* 向二叉排序树中加入一个结点
- 要改变指针,需要传递指针的指针*/
- /* return 0表示插入成功, return -1表示插入失败 */
- int InsertNode(BSTree **tree, KeyType key)
- {
- BSTNode *p= NULL, *parent = NULL;
- BSTNode *pNewNode = (BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode));
- if (pNewNode==NULL)
- {
- return -1;
- }
- /* 新建结点赋值,特别是左右子结点指针要赋值为NULL,叶子节点 */
- /* 二叉排序树新插入的结点都是叶子节点 */
- pNewNode->key = key;
- pNewNode->lchild = NULL;
- pNewNode->rchild = NULL;
- /* 二叉排序树是空树 */
- if (*tree==NULL)
- {
- *tree = pNewNode;
- return 0;
- }
- else
- {
- p = *tree;
- /* 寻找插入位置 */
- while (NULL != p) /* 待插入的结点以叶子节点方式插入 */
- {
- /* key值已在二叉排序树中 */
- if (p->key == key)
- {
- return 0;
- }
- else
- {
- parent = p;
- p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild; //key是待插入结点
- }
- } //while,结束时NULL == p,此时已经到了叶子节点位置
- if (parent->key < key)
- {
- parent->rchild = pNewNode;
- }
- else
- {
- parent->lchild = pNewNode;
- } //else
- return 0;
- } //else
- } //InsertNode
- //删除节点
- /* 通过值查找并删除一个结点 */
- int delNode(BSTree **tree, KeyType key)
- {
- BSTNode *p = NULL, *q = NULL, *parent = NULL, *child = NULL;
- p = *tree;
- /* parent为NULL表示根结点的父亲为NULL */
- while (NULL != p)
- {
- if (p->key == key) //此时找到待删除的结点p
- {
- break;
- }
- else
- { parent = p;
- p = (p->key < key) ? p->rchild : p->lchild;
- }
- } //while
- /* p为NULL时, 表示没有找到结点值为key的结点 */
- if (NULL == p) /* 到达叶子节点仍未查找到要删除的结点 */
- {
- return -1;
- }
- /* p, q现在都是保存了待删结点指针 */
- q = p; //此时p->key == key
- /* 待删结点有两个儿子结点,进行一下转化 */
- if (NULL != p->lchild && NULL != p->rchild)
- {
- //找中序后继,先右拐,然后左走到底
- parent = p;
- p = p->rchild; /* 进入右子树 */
- while (NULL != p->lchild)
- {
- parent = p;
- p = p->lchild;
- }
- /* p中保存了待删结点右子树中最左下的结点指针, parent中就保存了该结点父亲指针 */
- child = p->rchild;
- }
- else if(NULL == p -> lchild)
- child = p -> rchild;
- else
- child = p -> lchild;
- /* parent保存待删结点的父亲结点指针, child保存了待删结点的儿子结点
- //实际删除的是待删节点的直接后继,下面是删除直接后继的过程,(待删结点至多只有一个儿子, 有两个会转化为0个或1个右结点)
- */
- // 待删结点是根结点,且只有一个儿子
- if (NULL == parent)
- {
- if(p->lchild!=NULL) *tree = p->lchild;
- else *tree = p->rchild;
- }
- else
- {
- /*待删结点是父亲结点的左儿子*/
- if (parent->lchild == p)
- {
- parent->lchild = child;
- }
- else
- {
- parent->rchild = child;
- }
- //将实际删除的节点的key值赋给原先要删除的节点
- if (p != q)
- {
- q->key = p->key;
- }
- }
- free(p);
- return 0;
- } //delNode
- //二叉排序树查找
- BSTNode* SearchBST(BSTree *T,KeyType key)
- { //在二叉排序树T上查找关键字为key的结点,成功时返回该结点位置,否则返回NUll
- if(T==NULL) //递归的终结条件
- return NULL; //T为空,查找失败;
- if(key==T->key)
- //成功,返回找到的结点位置
- {
- printf("Got it!");
- return T;
- }
- if(key<T->key)
- return SearchBST(T->lchild,key);
- else
- return SearchBST(T->rchild,key);//继续在右子树中查找
- } //SearchBST
- int main()
- {
- int n;
- BSTree *B=NULL;
- printf("Input number to initialize a BSTree:");
- while(1)
- {
- scanf("%d",&n);
- if(n==0) break; //遇到0时停止输入,0并不入树
- InsertNode(&B, n);
- }
- dispTree(B);
- printf("PreOrder:");
- preOrder(B);
- printf("\n");
- printf("Search a node:");
- scanf("%d",&n);
- SearchBST(B,n);
- printf("\n");
- printf("Delete a node:");
- scanf("%d",&n);
- delNode(&B,n);
- dispTree(B);
- printf("PreOrder:");
- preOrder(B);
- printf("\n");
- system("pause");
- return 1;
- }
四、程序运行结果
出处:http://blog.csdn.NET/silangquan/article/details/8065243