PS: 关于本题算法的优化算法已经发表, 请查看叠骰子( 以矩阵方法实现 )
原题:
赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子,就是把骰子一个垒在另一个上边,不能歪歪扭扭,要垒成方柱体。
经过长期观察,atm 发现了稳定骰子的奥秘:有些数字的面贴着会互相排斥!我们先来规范一下骰子:1 的对面是 4,2 的对面是 5,3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象,每组中的那两个数字的面紧贴在一起,骰子就不能稳定的垒起来。
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同,当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多,请输出模 10^9 + 7 的结果。
不要小看了 atm 的骰子数量哦~
「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行,每行两个整数 a b ,表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。
「输出格式」
一行一个数,表示答案模 10^9 + 7 的结果。
「样例输入」
2 1
1 2
「样例输出」
544
「数据范围」
对于 30% 的数据:n <= 5
对于 60% 的数据:n <= 100
对于 100% 的数据:0 < n <= 10^9, m <= 36
资源约定:
峰值内存消耗 < 256M
CPU消耗 < 2000ms
解题思路:
当我在考场上第一眼看到这道题的时候, 其实我是没有思路的, 第一个在我脑海里浮现出来的算法是暴力破解, 但是看了看数据规模, 就立马否决了, 后来就想到用动态规划来解. Dp[ i ][ j ]表示高度为 i , 顶面点数为 j 的方案数, 那么Dp[ i ][ j ] 就等于 i-1 高度时所有与j的反面无冲突的方案数累加. 最后的总方案数还要乘以(4^i), 因为每一个骰子可以4面转嘛. 由于每一层的规划只与前一层有关, 所以可以采用滚动数组, 不然内存会超标...直接看代码吧!
#include <iostream> using namespace std; // ...冲突记录: Compact[i][j]=false代表点数为i的面与点数为j的面存在冲突 bool Compact[7][7]; // ...Parner[i]=j代表 点数为i的面 的对立面点数为j const int Parner[7]={ 0,4,5,6,1,2,3 }; const long long MOD = 1000000007; int main(int argc, char** argv) { long long N; // 骰子高度 int M; // 冲突组数 int s1,s2; cin >> N >> M; for( int i = 0; i < 7; ++i) for( int j = 0; j < 7;++j) Compact[i][j]=true; for( int i = 0; i < M; ++i ) { cin >> s1 >> s2; // ...点数为s1的面与点数为s2的面存在冲突 Compact[s1][s2] = Compact[s2][s1] = false; } long long dp[2][7]; // 滚动数组 long long C = 4; int e = 0; // 滚动标志 for( int i = 1; i < 7; ++i ) dp[e][i] = 1; // dp[i][j]代表高度为i的,顶面点数为j的叠骰子方案数 // 在这里忽略每个骰子可以四面转向的情况, 把该情况留到最后乘上去就可以了 int j,k; for( long long i = 2; i <= N; ++i ){ e = 1-e; // ...滚动处理 C = (C*4)%MOD; for( j = 1; j < 7; ++j ){ dp[e][j] = 0; for( k = 1; k < 7; ++k) if( Compact[ Parner[j] ][k] ) dp[e][j] += dp[1-e][k]; dp[e][j]%=MOD; } } int sum=0; for( int i = 1; i < 7; ++i) sum = (sum+dp[e][i])%MOD; sum = (sum*C)%MOD; cout << sum; return 0; }
总结 : 从上述代码可以看出, 这是一个时间复杂度为O(36n)的算法, 为什么我在强调O(36n)而不是O(n), 因为这个系数使得我没有办法通过数据规模为10^7以上的数据, 但是至今我仍未有任何办法来减少这个系数, 希望大家能给提点建议.
PS: 关于本题算法的优化算法已经发表, 请查看叠骰子( 以矩阵方法实现 )