第八届蓝桥杯【省赛试题8】包子凑数

时间：2023-01-20 20:01:23

第八届蓝桥杯【省赛试题8】包子凑数



标题：包子凑数

小明几乎每天早晨都会在一家包子铺吃早餐。他发现这家包子铺有N种蒸笼，其中第i种蒸笼恰好能放Ai个包子。每种蒸笼都有非常多笼，可以认为是无限笼。

每当有顾客想买X个包子，卖包子的大叔就会迅速选出若干笼包子来，使得这若干笼中恰好一共有X个包子。比如一共有3种蒸笼，分别能放3、4和5个包子。当顾客想买11个包子时，大叔就会选2笼3个的再加1笼5个的（也可能选出1笼3个的再加2笼4个的）。

当然有时包子大叔无论如何也凑不出顾客想买的数量。比如一共有3种蒸笼，分别能放4、5和6个包子。而顾客想买7个包子时，大叔就凑不出来了。

小明想知道一共有多少种数目是包子大叔凑不出来的。

输入
----
第一行包含一个整数N。(1 <= N <= 100)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100)  

输出
----
一个整数代表答案。如果凑不出的数目有无限多个，输出INF。

例如，
输入：
2  
4  
5   
程序应该输出：
6  
再例如，
输入：
2  
4  
6    
程序应该输出：
INF

样例解释：
对于样例1，凑不出的数目包括：1, 2, 3, 6, 7, 11。  

对于样例2，所有奇数都凑不出来，所以有无限多个。 

思路：

这道题我是用拓展欧几里得解的，

扩展欧几里德定律：　

对于不完全为0的非负整数a，b，gcd(a, b)表示a, b的最大公约数，必定存在整数对x，y，满足a*x+b*y==gcd(a, b)。

由拓展欧几里得可知，如果gcd(a,b)等于1，那么就可以通过乘上一个整数，得到任意一个数。对于本题来说：

一、n=gcd（a,b），如果n不为1 那么所有n的整数倍的数都能表示出来，但也有无数个数是表示不出来的。所以n不为1的时候 可以直接输出INF。

二、n=gcd(a,b)，如果n为1，接下来就需要考虑x,y的值，笼子的个数一定不能为负，所以排除x，或y为负才能凑出的情况。

ps：Ai最大为100，判断到10000即可。

代码：

 C++ Code 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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43
44
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46
47
48
49
50
51
#include<bits/stdc++.h>
using  namespace std;

int n, a[ 110], com;
int dp[ 10004] ;
const  int MAX =  10000;

int gcd( int x,  int y)
{
     return y ==  0 ? x : gcd(y, x % y);
}

int main()
{
    scanf( "%d", &n);
     for( int i =  1; i <= n; i++)
        scanf( "%d", &a[i]);

     ///求n个数的最大公约数
    com = gcd(a[ 1], a[ 2]);
     for( int i =  3; i <= n; i++)
        com = min(com, gcd(a[i], com));

     if(com !=  1)
    {
        printf( "INF\n");
         return  0;
    }

    dp[ 0] =  1;  ///0个包子是一定能凑出来的
     for( int i =  1; i <= n; i++)
         for( int j =  0; j + a[i] <= MAX; j++)
        {
             if(dp[j])
                dp[j + a[i]] =  1;  ///j+a[i]是可以凑出来的
        }

     int cnt =  0;
     for( int i = MAX; i >=  0; i--)
    {
         if(!dp[i])
            cnt++;
    }
    printf( "%d\n", cnt);
     return  0;
}




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