概率论与数理统计第二章
- 离散型随机变量、分布律
- 连续型随机变量、概率密度函数
- 分布函数
- 二项分布、泊松分布
- 均匀分布、指数分布
- 正态分布
- 随机变量函数的分布
离散型随机变量、分布律
显然，离散型随机变量的取值是离散的。
它的分布律就是对应每一个X的概率
连续型随机变量、概率密度函数
显然，连续型随机变量是连续的。
它的概率密度函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)就是
x
=
X
、
y
=
P
(
x
)
x=X、y=P(x)
x=X、y=P(x)绕出来的的面积
就是0
分布函数
分布函数有一些统一的性质
F
(
x
)
=
P
{
X
≤
x
}
F(x)=P\{X\leq x\}
F(x)=P{X≤x}
F
(
∞
)
=
1
F(\infty)=1
F(∞)=1
离散型
离散型的分布函数，就是把 X ≤ x X\leq x X≤x的所有概率从小到大排起来全部加起来
由分布函数求概率函数
- 分布函数的各个间断点 x k x_k xk就是 X X X的取值
- P { X = x k } = F ( x k ) − F ( x k − 0 ) , k = 1 , 2 , 3 , . . . P\{X=x_k\}=F(x_k)-F(x_k-0),k=1,2,3,... P{X=xk}=F(xk)−F(xk−0),k=1,2,3,...
连续型
连续型的分布函数就是从负无穷大到
X
=
x
X=x
X=x求积分
就是从负无穷大到当前的位置，概率密度函数围起来的面积
P
(
X
>
a
)
=
1
−
F
(
a
)
P(X > a) = 1- F(a)
P(X>a)=1−F(a)
P
(
X
<
a
)
=
F
(
a
)
−
F
(
a
+
0
)
P(X < a) = F(a) - F(a + 0)
P(X<a)=F(a)−F(a+0)
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)
P(a<X≤b)=F(b)−F(a)
二项分布、泊松分布
二项分布：
(
k
n
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
(^n_k)p^k(1-p)^{n-k}
(kn)pk(1−p)n−k
n次实验，成功概率为p，成功了k次
记作
X
∼
b
(
n
,
p
)
X \sim b(n, p)
X∼b(n,p)
即使一个事件发生的概率很小，但是在大量独立重复的实验中，几乎是一定发生的
但是在单次实验中，可以认为不发生（第五章大数定理）
泊松分布：
λ
k
e
−
λ
k
!
\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}
k!λke−λ
记作
X
∼
π
(
λ
)
X \sim \pi(\lambda)
X∼π(λ)
当二项分布的p很小、n很大的时候，设
λ
=
n
p
\lambda = np
λ=np，可以使用泊松分布近似替代二项分布
均匀分布、指数分布
均匀分布：
f
(
x
)
=
1
b
−
a
,
a
<
x
<
b
,
=
0
,
o
t
h
e
r
s
f(x)=1b−a,a<x<b,=0,others
记作
X
∼
U
(
a
,
b
)
X \sim U(a, b)
X∼U(a,b)
均匀分布的概率只与子区间长度有关，与位置无关
指数分布
f
(
x
)
=
1
θ
e
−
x
θ
,
x
>
0
,
=
0
,
o
t
h
e
r
s
f(x)=1θe−xθ,x>0,=0,others
当
x
x
x从右边逼近0的时候，
f
(
x
)
f(x)
f(x)极限值为
λ
\lambda
λ即
1
θ
\frac{1}{\theta}
θ1
性质：对于任意的
s
,
t
>
0
s, t>0
s,t>0，
P
{
X
>
s
+
t
∣
X
>
s
}
=
P
{
X
>
t
}
P\{X > s + t | X > s\} = P\{X > t\}
P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}
称之为无记忆性：元件对于它已经使用的时间没用记忆。
适用于寿命问题
正态分布
关键要画图
X
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
X \sim N(\mu, \sigma ^2)
X∼N(μ,σ2)：
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
,
−
∞
<
x
<
+
∞
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^ 2}}},-\infty<x<+\infty
f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<+∞
其实用不到公式，只要有
μ
、
σ
\mu、\sigma
μ、σ，题目就能做
（注意是
σ
2
\sigma ^2
σ2）
含义：
μ
\mu
μ：位置参数
σ
\sigma
σ：形状参数
- 性质：
- 曲线关于 x = μ x=\mu x=μ对称
- 当 x = μ x=\mu x=μ时取到最大值 f ( μ ) = 1 2 π σ f(\mu) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} f(μ)=2πσ1=> σ \sigma σ越小，曲线越瘦， X X X落在 μ \mu μ附近概率越大； σ \sigma σ越大，曲线越胖
- 拐点： x = μ ± σ x=\mu \pm \sigma x=μ±σ（不怎么用）
- 固定 σ \sigma σ，改变 μ \mu μ，曲线平移=> σ \sigma σ：形状， μ \mu μ：位置参数
标准正态分布：
μ
=
0
,
σ
=
1
\mu=0, \sigma=1
μ=0,σ=1
ϕ
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
\phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
ϕ(x)=2π1e−2x2
Φ
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
e
−
t
2
2
d
t
\Phi (x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt
Φ(x)=2π1∫−∞xe−2t2dt
=>
（会用很多很多次）
ϕ
(
−
x
)
=
ϕ
(
x
)
\phi (-x) = \phi (x)
ϕ(−x)=ϕ(x)
Φ
(
−
x
)
=
1
−
Φ
(
x
)
\Phi (-x) = 1-\Phi (x)
Φ(−x)=1−Φ(x)
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
2
=
2
π
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}=\sqrt{2\pi}
∫−∞∞e−2x2=2π
-
若 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu, \sigma ^2) X∼N(μ,σ2)，则 Z = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0, 1) Z=σX−μ∼N(0,1)
=>我们可以通过一个线性变化来将其转换为标准正态分布 -
3 σ 原 则 3\sigma 原则 3σ原则：正态变量基本上分布在 ( μ − 3 σ , μ + 3 σ ) (\mu-3\sigma, \mu+3\sigma) (μ−3σ,μ+3σ)内
随机变量函数的分布
定理
X的密度函数
f
X
(
x
)
f_X(x)
fX(x)，
Y
=
K
x
+
b
(
K
!
=
0
)
Y=Kx+b(K!=0)
Y=Kx+b(K!=0)，
f
T
(
x
)
=
1
∣
K
∣
f
X
(
x
−
b
K
)
f_T(x)=\frac{1}{|K|}f_X(\frac{x-b}{K})
fT(x)=∣K∣1fX(Kx−b)
定理
f
Y
(
y
)
=
f
X
[
h
(
y
)
]
∣
h
′
(
y
)
∣
f_Y(y)=f_X[h(y)]|h'(y)|
fY(y)=fX[h(y)]∣h′(y)∣
其中
Y
=
g
(
X
)
Y=g(X)
Y=g(X)、
h
(
y
)
h(y)
h(y)为
g
(
x
)
g(x)
g(x)反函数