期末复习第三章
仅仅涉及知识点，看完知识点赶紧刷题
- 分布函数、边缘分布
- 离散型二维随机变量
- 连续型二维随机变量、联合概率密度、边缘密度
- 条件分布
- 二维随机变量的独立性
- 二维随机变量函数的分布
分布函数、边缘分布
F
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)
F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
就是在坐标轴上面的一个点，它下面和它的左边围起来的面积
性质：
- 是不减函数
- F ( − ∞ , y ) = 0 F(-\infty, y)=0 F(−∞,y)=0， F ( x , − ∞ ) = 0 F(x, -\infty)=0 F(x,−∞)=0， F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 F(-\infty, -\infty)=0 F(−∞,−∞)=0， F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(+\infty, +\infty)=1 F(+∞,+∞)=1
- F ( x , y ) F(x, y) F(x,y)分别关于x、y右连续
- P { x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 } = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\{x_1 < X \leq x_2, y_1 < Y \leq y_2\} = F(x_2, y_2)-F(x_2, y_1)-F(x_1, y_2)+F(x_1, y_1) P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)（画一下图就一目了然了）
边缘分布：
F
X
(
x
)
=
P
{
X
≤
x
}
=
F
(
x
,
+
∞
)
=
P
{
X
≤
x
,
Y
<
+
∞
}
F_X(x)=P\{X\leq x\}=F(x, +\infty)=P\{X\leq x, Y<+\infty\}
FX(x)=P{X≤x}=F(x,+∞)=P{X≤x,Y<+∞}
F
Y
(
x
)
=
P
{
Y
≤
x
}
=
F
(
+
∞
,
y
)
=
P
{
X
<
+
∞
,
Y
≤
y
}
F_Y(x)=P\{Y\leq x\}=F(+\infty, y)=P\{X < +\infty, Y\leq y\}
FY(x)=P{Y≤x}=F(+∞,y)=P{X<+∞,Y≤y}
理解：就是忽视掉X或者Y，不对其做限制
离散型二维随机变量
X、Y取离散值
边缘分布：对每一行、每一列求和，即是边缘分布
联合分布表可唯一确定边缘分布
边缘分布不能确定联合分布（当X、Y独立的时候，能使用边缘分布确定联合分布）
记得画好边缘分布表，考试只看那个
-
条件分布：首先求出边缘分布，然后再将要求的数和边缘分布对应的值进行比对
-
独立性： P { X = x i , Y = y i } = P { X = x i } P { Y = y i } P\{X=x_i, Y=y_i\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_i\} P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yi}
-
随机变量函数：
0～1分布的X、Y（独立），构造X+Y，结果是二项分布
泊松分布的X、Y（独立），构造X+Y，结果是泊松分布
连续型二维随机变量
F
(
x
,
y
)
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
∫
−
∞
x
∫
−
∞
y
f
(
s
,
t
)
d
s
d
t
F(x, y) = P\{X\leq x, Y\leq y\}=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f(s, t)dsdt
F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)图像为曲面
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)为体积
f
(
x
,
y
)
f(x, y)
f(x,y)在指定的区域为常数，称之为均匀分布
一维均匀分布中，常数的取值是长度的倒数
二维均匀分布中，常数的取值是面积的倒数
-
边缘密度
对x的边缘密度就是对y求积分
对y的边缘密度就是对x求积分
边缘分布函数 F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x [ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d t ] d s F_X(x) = F(x, +\infty) = \int^x_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(s, t)dt]ds FX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x[∫−∞+∞f(s,t)dt]ds（变上限积分）
边缘密度函数 f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f_X(x)=\int^{+\infty}_{-\infty}f(x, y)dy fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy -
独立性
f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f(x, y)=f_X(x)f_Y(y) f(x,y)=fX(x)fY(y)<=>两个变量独立
F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) F(x, y)=F_X(x)F_Y(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)<=>两个变量独立
若是二维正态分布，它的边缘分布也是正态分布
两个边缘分布是正态分布，它的二维变量不一定是正态分布
- 随机变量函数
第一步：求 Z = g ( X , Y ) Z=g(X, Y) Z=g(X,Y)的分布，参考一维随机变量函数的分布
第二布：求概率密度函数。对分布函数求导。（注意分段函数：根号、平方等）
两种特殊的随机变量函数
-
Z
=
X
+
Y
Z=X+Y
Z=X+Y
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { X + Y ≤ z } = ∫ ∫ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=P\{Z \leq z\}=P\{X+Y\leq z\}=\int\int_{x+y\leq z}f(x, y)dxdy FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy
主要难度：积分。
先画出积分区域
二重积分在直角坐标系下化为累次积分，使用两种方法：x型或y型
例如x型
在外层x是变量，则在里层，x是常量
对y换元
∫ ∫ x + y ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z − x f ( x , y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ d x ∫ − ∞ z f ( x , t − x ) d t = ∫ − ∞ z [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t − x ) d x ] d t \int\int_{x+y\leq z}f(x, y)dxdy = \int^{+\infty}_{-\infty}dx\int^{z-x}_{-\infty}f(x, y)dy=\int^{+\infty}_{-\infty}dx\int^{z}_{-\infty}f(x, t-x)dt=\int^z_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x, t-x)dx]dt ∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫−∞+∞dx∫−∞z−xf(x,y)dy=∫−∞+∞dx∫−∞zf(x,t−x)dt=∫−∞z[∫−∞+∞f(x,t−x)dx]dt
换元目的：消去积分限上的x
二重积分换序：这一块我不懂，我需要找时间复习=>把x型变成y型（要画好图）（当积分区域是矩形的时候不用变限，否则都要变限）
F Z ( z ) = ∫ − ∞ z [ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , t − x ) d x ] d t F_Z(z)=\int^z_{-\infty}[\int^{+\infty}_{-\infty}f(x, t-x)dx]dt FZ(z)=∫−∞z[∫−∞+∞f(x,t−x)dx]dt=>变上限积分，求导得（1->对上限求导，2->把上限代进去）
f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx
⇒ Z = X + Y \Rightarrow Z=X+Y ⇒Z=X+Y有 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)dy fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞f(z−y,y)dy
若独立，有
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
x
,
z
−
x
)
d
x
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
x
)
f
Y
(
z
−
x
)
d
x
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx
fZ(z)=∫−∞+∞f(x,z−x)dx=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x)dx
f
Z
(
z
)
=
∫
−
∞
+
∞
f
(
z
−
y
,
y
)
d
y
=
∫
−
∞
+
∞
f
X
(
z
−
y
)
f
Y
(
y
)
d
y
f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)dy=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)dy
fZ(z)=∫−∞+∞f(z−y,y)dy=∫−∞+∞fX(z−y)fY(y)dy
=>卷积公式
- Z = XY、Z=Y/X
f Y / X ( z ) = ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ f ( x , x z ) d x f_{Y/X}(z) = \int^{\infty}_{-\infty}|x|f(x, xz)dx fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,xz)dx
f X Y ( z ) = ∫ − ∞ ∞ 1 / ∣ x ∣ f ( x , z / x ) d x f_{XY}(z) = \int^{\infty}_{-\infty}1/|x|f(x, z/x)dx fXY(z)=∫−∞∞1/∣x∣f(x,z/x)dx
β \beta β函数
∫
0
1
t
α
−
1
(
1
−
t
)
β
−
1
\int^1_0 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}
∫01tα−1(1−t)β−1=
B
(
α
,
β
)
B(\alpha, \beta)
B(α,β)
=
Γ
(
α
)
Γ
(
β
)
/
Γ
(
α
+
β
)
\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)/\Gamma(\alpha+\beta)
Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β)
Γ
(
x
)
=
∫
0
+
∞
t
x
−
1
e
−
t
d
t
\Gamma(x) = \int^{+\infty}_0 t^{x-1}e^{-t}dt
Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt
Γ
(
1
)
=
1
\Gamma(1)=1
Γ(1)=1
Γ
(
x
+
1
)
=
x
Γ
(
x
)
\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)
Γ(x+1)=xΓ(x)
=>
Γ
(
n
)
=
(
n
−
1
)
!
Γ
(
1
)
\Gamma(n)=(n-1)!\Gamma(1)
Γ(n)=(n−1)!Γ(1)
当x在0到1之间时：
Γ
(
1
−
x
)
Γ
(
x
)
=
π
/
s
i
n
π
x
\Gamma(1-x)\Gamma(x) = \pi/sin\pi x
Γ(1−x)Γ(x)=π/sinπx=>
Γ
(
1
/
2
)
=
(
π
)
\Gamma(1/2)=\sqrt(\pi)
Γ(1/2)=(π)
条件分布
P { X = x i ∣ Y = y i } = P ( X = x i , Y = y i ) / P ( Y = y i ) = p i j / p j P\{X=x_i|Y=y_i\}=P(X=x_i, Y=y_i)/P(Y=y_i)=p_{ij}/p_j P{X=xi∣Y=yi}=P(X=xi,Y=yi)/P(Y=yi)=pij/pj
f
X
∣
Y
=
f
(
x
,
y
)
/
f
Y
(
y
)
f_{X|Y}=f(x, y)/f_Y(y)
fX∣Y=f(x,y)/fY(y)
F
X
∣
Y
=
∫
f
X
∣
Y
F_{X|Y}=\int f_{X|Y}
FX∣Y=∫fX∣Y
独立性
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x, y)=f_X(x)f_Y(y)
f(x,y)=fX(x)fY(y)
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x, y)=F_X(x)F_Y(y)
F(x,y)=FX(x)FY(y)
对于二维正态随机变量(X,Y)，二者独立<=> μ X = μ Y = 0 \mu_X=\mu_Y=0 μX=μY=0
( X i ) (X_i) (Xi)相互独立、 ( Y i ) (Y_i) (Yi)=> X i X_i Xi、 Y i Y_i Yi相互独立
M=max{X, Y}、N=min{X, Y}
F
m
a
x
z
=
F
X
(
z
)
F
Y
(
z
)
F_{max}z=F_X(z)F_Y(z)
Fmaxz=FX(z)FY(z)
F
m
i
n
z
=
1
−
[
1
−
F
X
(
z
)
]
[
1
−
F
Y
(
z
)
]
F_{min}z=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]
Fminz=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]