态矢 State Vector
量子态的态矢描述
右矢 
左矢 
我们采用竖线和尖括号的组合描述一个量子态，其中每一个分量都是复数，右上角标T表示转置。这样的描述表示量子态是一个矢量。右矢表示一个1*n的列矢量，左矢表示一个n*1的行矢量。另外，在讨论同一个问题时，如果左矢和右矢在括号内的描述相同的话，那么这两个矢量互为转置共轭。
内积和外积
对于任意的两个量子态 
内积 
一个数
外积 
矩阵
两能级系统 Two Level System
事物的二元化：0和1、无和有、高和低、开和关、天和地、阴和阳、生和死、产生和消灭。二元化是一种将事物关系简化的哲学。基于二进制的计算理论正是利用了这种哲学思想。
在谈论量子计算原理前，我们可以先来看一看经典计算机是怎么做的。我们知道，经典计算机就是在不断的处理0、1的二进制数码，它们代表着逻辑电路中的高低电平。对于这些二进制数码的产生、传输、处理、读取，最终反馈到像显示器这种输出设备上的信号，就是一个计算机的工作流程。
对于微观量子而言，我们有一个决定粒子性质的最直接的参量——它的能量。之前就已经说过，粒子的能量只会在几个分立的能级上面取值。并且我们现在限制取值的可能性种类为两种。这就构成了两能级系统。除了某些特殊的情况之外，这两个能级必定能找出来一个较低的，称之为基态(ground state)，记为|g>；另一个能量较高的，称之为激发态(excited state)，记为 |e>。
所以量子计算机里面也是由0和1来构成量子比特，只不过这里是指量子态的|g>和 |e>。这就是一个两能级系统的特征。以列矢量的方式将它们记为 
行矢量的形式记为 
叠加态和测量 Superposition State And Measurement
按照态矢里面的描述，这两个矢量可以构成一个二维空间的基。任何一个态都可以写为这两个基在复数空间上的线性组合，即 
其中
表示模为1幅角为
的复数。
我们现在就可以给测量这件事情赋予数学上的含义了。我们定义测量就是将量子态
投影到另一个态
上。获得这个态的概率是它们内积的平方，即 
其它概率下会将量子态投影到它的正交态上面去，即 
测量之后量子态就坍缩到测量到的态上面。
相位、纯态和混合态 Phase, Pure State and Mixed State
如果说我们有办法将量子态初始化到某一个未知的叠加态上面，我们能否通过反复的测量得到它的表达式呢？看下面这种两种情况： 
我们会发现在|0>，|1> 的方向上测量，它们的表现都是一半概率为0，一半概率为1，根本不能区分。
这里我只是想提醒你相位是某种隐含的信息，从概率上无法表示的信息。实际上，量子态的相位是量子相干性的体现。关于量子相干性的更详细信息我会在接下来的部分介绍。
现在我们再来介绍另一种情况。想象我们左手抓着一个袋子，这个袋子里面有无数的量子态。他们全部都是
这种叠加态。另外我们有一个机器可以在的方向上测量。
我们每次拿出来一个态，对它进行测量，不管它是|0>还是|1>，都扔到右手边的另一个袋子里面。反复这个过程，这样右边袋子里面的态越来越多了。因为我们的测量结果对于这两种情况是等概率的，所以右边的袋子里面约有一半的态是|0>，另一半是 |1>。
我们从右手边的袋子里面取一个出来。在我们不知道手上的这个态是什么的情况下，我们能说它和左手边袋子里面的态一样都是
吗？
答案是不能。右边袋子里面的态实际上是一种经典的概率叠加，和等量的红球白球装在袋子里面一样。这样的态是不具有相位的。它只能表示为 
这种类似于概率列表的形式。
所以说，我们定义纯态就是“纯粹的量子态”，它不仅具有概率，还具有相位（也就是量子相干性）。混合态是纯态的概率性叠加，它往往失去了（部分或全部的）相位信息。
密度矩阵和布洛赫球 Density Matrix And Bloch Sphere
态矢是对纯态的描述，如果要描述一个混合态，就必须写成态集合和概率的列表形式，这样非常繁琐。所以我们采用密度矩阵来描述。
对于一个纯态而言，密度矩阵可以写为 
而对于一个混合态而言，密度矩阵的形式是 
其中
是系统所处的态及其概率。
密度矩阵有以下的性质：
对于一个两能级体系表述的态，不论是纯的还是混合的，都可以用密度矩阵
表示 
当且仅当量子态时纯态时成立 
对角线上的分量表示整个系统如果经历一次测量，那么得到这个态的概率。
我们如果只去操作和测量一个两能级体系，那么我们是分辨不出相同的密度矩阵的。
密度矩阵已经完备地表示了一个两能级系统可能出现的任何状态。为了更加直观地理解量子叠加态与逻辑门的作用，引入布洛赫球的概念，它能够方便的表示一个量子比特的任意状态。 
如果量子态是一个纯态，那么它是球面上的点。点的z坐标衡量了它的|0>和|1>的概率，即 
所以最上面表示|0>态，最下面表示|1>态。
再沿着平行于XY平面的方向，并且穿过这个点的Z坐标，可以得到一个圆。这个圆就象征着相位的复平面。所以这个点在这个圆上交X轴的角度就是单位复数的幅角。经过这个过程我们将每个纯态都与球面上的点一一对应了起来。
对于混合态而言，因为根据我们之前的描述，混合态实际上是多个纯态的经典统计概率的叠加。对于每一个纯态分量，我们连接球心和球面上的点，可以形成一个矢量。我们根据概率列表，对所有的纯态矢量进行加权平均，即可得到混合态的矢量，即得到了混合态对应的点。
混合态是球内部的点，根据混合的程度不同，矢量的长度也不同。最大混合态是球心。它意味着这里不存在任何量子叠加性。
例如(1,0,0)和(-1,0,0)点在布洛赫球上就是在X方向上的顶点和-X方向上的顶点。我们根据刚才的叙述，知道它们对应的量子态的概率分布就是Z坐标，即为0。所以， 
沿XY平面横切，得到一个圆，我们可以看到这两个点对应的幅角是 
所以我们就可以推断出来量子态分别为 
如果将这两个态以1/2,1/2的概率混合，在布洛赫球上面的坐标将表示为(0,0,0)，也就是球心。对应到密度矩阵的表述，即为
即为最大混合态。
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