第八章 射频滤波器

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• 8.1 常见的射频滤波器
• 8.1.1 LC滤波器
• 8.1.2 晶体滤波器
• 8.1.3 陶瓷滤波器
• 8.1.4 声表面波滤波器
• 8.2 滤波器的基本结构
• 滤波器的主要技术指标有：
• 1、通带插入损耗：
• 2、波纹
• 3、带宽
• 4、矩形系数
• 5、品质因数
• 8.3 滤波器基本分析方法
• 1、镜像参数法
• 2、网络综合法
• 8.4 低通滤波器原型
• 8.4.1 巴特沃斯滤波器
• 8.4.2 线性相移滤波器（贝塞尔滤波器）
• 8.4.3 切比雪夫滤波器
• 8.5 滤波器设计方法
• 8.5.1 频率变换
• 低通→低通 变换
• 低通→高通变换
• 低通→带通变换
• 低通→带阻变换
• 8.5.2 阻抗变换
• 例
• 滤波器阶数的确定

8.1 常见的射频滤波器

8.1.1 LC滤波器

由电感L和电容C元件构成的滤波器称为LC滤波器
通常可分为一般LC滤波器、谐振回路滤波器和耦合回路LC滤波器
一般LC滤波器可实现低通、高通、带通和带阻等各种功能
谐振回路LC滤波器一般只能实现带通和带阻（或陷波）两种功能
耦合回路LC滤波器通常仅实现带通的功能。

8.1.2 晶体滤波器

晶体谐振器不但可以用作振荡器还可以用来制作滤波器
晶体滤波器具有体积小和重量轻的优点，并且由于晶体的Q值很高，易于实现窄带的带通或带阻滤波器。
晶体滤波器具有中心频率稳定，带宽窄，边沿衰减陡峭的特点
晶体滤波器的相对带宽只有千分之几，在许多情况下限制了其应用。

8.1.3 陶瓷滤波器

压电陶瓷材料经直流高压电场极化后，可以得到类似于石英晶体中的压电效应，其等效电路也和晶体谐振器相同
但陶瓷滤波器的品质因数较晶体小得多（约为几百），但比LC滤波器的品质因数高，且串、并联频率间隔也比较大
因此，陶瓷滤波器的相对带宽较大。高频陶瓷滤波器的工作频率可以从几兆赫至到上百兆赫，并且其相对带宽可从千分之几至10％。
简单的陶瓷滤波器是在单片压电陶瓷上形成双电极或三电极，它们相当于单振荡回路或耦合回路
性能较好的陶瓷滤波器通常是将多个陶瓷谐振器接入梯形网络而构成
它是一种多极点的带通（或带阻）滤波器
单片陶瓷滤波器通常用在放大器射极电路中取代旁路电容
由于陶瓷滤波器的Q值比通常电感元件高，滤波器的通带衰减小，带外衰减大，矩形系数较小。

8.1.4 声表面波滤波器

声表面波滤波器（SAW）器件是一种利用沿弹性固体表面传播机械振动波的器件
在压电固体材料表面产生和传播、且振幅随深入固体材料的深度增加而迅速减小的弹性波称为声表面波（SAW），它具有能量密度高和传播速度慢的特点。
在声表面波滤波器中，叉指换能器一般是均匀的，也可以对指长、指宽或者叉指间隔进行加权，这样就可以得到幅频特性（选择性）更好，或者满足特殊幅频特性要求的滤波器。

8.2 滤波器的基本结构

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实际的滤波器实现形式是根据不同的传递函数对理想特性的逼近，可以分为巴特沃斯、切比雪夫、椭圆函数等基本滤波器，它们的幅度频率响应如下图所示：

滤波器的主要技术指标有：

1、通带插入损耗：

理想的滤波器不应对通带内的信号引入损耗，然而实际的电路中总是会引入一定的功率损耗，称为插入损耗
其定义为信号源输入功率与负载得到的功率之比
$IL = 10\log \frac{{{P_{{\rm{in}}}}}}{{{P_{\rm{L}}}}} = - 10\log (1 - {\left| {{\Gamma _{{\rm{in}}}}} \right|^2})$IL=10logPL​Pin​​=−10log(1−∣Γin​∣2)
${P_{{\rm{in}}}}$Pin​是信号源的输入功率
${P_{\rm{L}}}$PL​是负载得到的功率
${\Gamma _{{\rm{in}}}}$Γin​是从信号源向滤波器看去的反射系数

2、波纹

波纹是衡量带内响应平坦度的技术指标，我们可以用波纹系数定量的分析波纹的起伏大小，定义为带内用分贝表示的相应幅度的最大和最小值之差

3、带宽

对于带通滤波器不同的衰减量对应于不同的带宽，常用的有
3 dB带宽定义为通带内幅度衰减为3 dB的上下边带之差
60 dB带宽定义为通带内幅度衰减为60 dB的上下边带之差

4、矩形系数

矩形系数描述了带通滤波器通带与阻带间过渡带宽的陡峭程度，通常定义为60 dB带宽与3 dB带宽的比值：
$SF = \frac{{B{W_{{\rm{3dB}}}}}}{{B{W_{{\rm{60dB}}}}}}$SF=BW60dB​BW3dB​​

5、品质因数

品质因数可以分为空载品质因数Q和有载品质因数${{{Q_{\rm{L}}}}}$QL​
两者由是否接有负载区分
通常空载品质因数 Q定义为在谐振频率下，滤波器上一个周期内平均储能与功率损耗的比：

品质因数的另外一个重要应用来自于它与3dB带宽间的关系：
$B{W_{{\rm{3dB}}}} = {{{f_{\rm{c}}}}}/{{{Q_{\rm{L}}}}}$BW3dB​=fc​/QL​

8.3 滤波器基本分析方法

射频滤波器分许多种类，各有不同的特点
但在电路中能灵活设计的主要有集总元件的LC滤波器和分布参数的耦合线滤波器
本章主要介绍集总元件参数LC滤波器的设计思想和设计方法。
LC滤波器设计方法主要有两种。

1、镜像参数法

镜像参数法以基本$\Gamma ,T,\Pi$Γ,T,Π型网络结构为基本单元。

规定约束条件${Z_1}{Z_2} = {R^2}$Z1​Z2​=R2
其中：R为设计常数。
再用ABCD矩阵分析其网络衰耗特性与输入输出阻抗特性
由于ABCD矩阵适于分析网络级联，因此也可扩展到多级网络的分析与设计。

2、网络综合法

网络综合法以归一化低通滤波器的传统函数为基础
首先用多项式逼近法构建满足滤波器衰耗条件的传递函数
再建立传递函数与阻抗函数的关系
用阻抗函数建立梯形网络的实现原型
最后经过频率变换和阻抗变换，获得实际需要的滤波器
我们重点介绍该方法的基本原理及设计方法。

8.4 低通滤波器原型

所谓滤波器原型是指归一化低通滤波器模型（截止频率为1，信号源内阻为1），滤波器原型确定了滤波器的特性
然后通过原型滤波器的频率变换，阻抗变换等获得实际需要的滤波器。

8.4.1 巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器插入损耗
$IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{\Omega ^{2N}}} \right)$IL=10log(1+a2Ω2N)
归一化频率${{\Omega = \omega } \mathord{\left/ {\vphantom {{\Omega = \omega } {{\omega _c}}}} \right.} {{\omega _c}}}$Ω=ω/Ω=ωωc​ωc​
N为滤波器阶数
a为通带衰耗系数，通常可以令a=1，将a值合并到归一化频率之中去。得

8.4.2 线性相移滤波器（贝塞尔滤波器）

8.4.3 切比雪夫滤波器

8.5 滤波器设计方法

设计流程：
1、根据设计指标确定归一化设计模型及参数
2、进行频率变换，将归一化低通模型变换成实际的模型
如：高通，带通，帯阻等
及将归一化频率变换为实际频率
并调整其元件值。
3、进行阻抗变换，将归一化阻抗变换成为系统需要的阻抗、即特征阻抗
同时进一步调整元件值。

8.5.1 频率变换

将归一化频率变换成实际频率，同时变换模型。

低通→低通 变换

$\Omega = \left( {\frac{\omega }{{{\omega _C}}}} \right)$Ω=(ωC​ω​)
${\omega _C}$ωC​实际截止频率，对应于归一化截止频率1
元件值变换：（L、C为归一化元件值）
${Z_L} = j\Omega L = j\frac{\omega }{{{\omega _c}}}L = j\omega L'{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}L' = \frac{L}{{{\omega _c}}}$ZL​=jΩL=jωc​ω​L=jωL′⇒L′=ωc​L​
${Y_C} = j\Omega C = j\frac{\omega }{{{\omega _c}}}C = j\omega C'{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}C' = \frac{C}{{{\omega _c}}}$YC​=jΩC=jωc​ω​C=jωC′⇒C′=ωc​C​

低通→高通变换

$\Omega = \frac{{ - {\omega _c}}}{\omega }$Ω=ω−ωc​​
元件值变换：
电感→电容
$Z = j\Omega L = - j\frac{{{\omega _c}}}{\omega }L = \frac{1}{{j\omega C'}}{\rm{ }} \Rightarrow C' = \frac{1}{{{\omega _c}L}}$Z=jΩL=−jωωc​​L=jωC′1​⇒C′=ωc​L1​
电容→电感
$Y = j\Omega C = - j\frac{{{\omega _c}}}{\omega }C = \frac{1}{{j\omega L'}}{\rm{ }} \Rightarrow L' = \frac{1}{{{\omega _c}C}}$Y=jΩC=−jωωc​​C=jωL′1​⇒L′=ωc​C1​
注意：虽然器件的性质改变，当在网络中的位置不变。

低通→带通变换

$\Omega = \frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)$Ω=ωU​−ωL​ω0​​(ω0​ω​−ωω0​​)
${\omega _U}{\omega _L} = \omega _0^2$ωU​ωL​=ω02​
低通→带通变换电感电容串联
$Z = j\Omega L = j\frac{{{\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)L = j\frac{{\omega L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{L}}}\\ = j\frac{{\omega L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{L}}} = j\omega {{L'}_s} + \frac{1}{{j\omega {{C'}_s}}}$Z=jΩL=jωU​−ωL​ω0​​(ω0​ω​−ωω0​​)L=jωU​−ωL​ωL​+jω(ω02​ωU​−ωL​​)L1​1​=jωU​−ωL​ωL​+jω(ω02​ωU​−ωL​​)L1​1​=jωL′s​+jωC′s​1​
${{L'}_s} = \frac{L}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}$L′s​=ωU​−ωL​L​★
${{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2L}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{L'}_s}}}$C′s​=ω02​LωU​−ωL​​=ω02​L′s​1​★
$\omega _0^2 = \frac{1}{{{{L'}_s}{{C'}_s}}}$ω02​=L′s​C′s​1​★
低通→带通变换电感电容并联
$Y = j\Omega C = j\frac{{\omega C}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}} + \frac{1}{{j\omega \left( {\frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)\frac{1}{C}}} = j\omega {{C'}_p} + \frac{1}{{j\omega {{L'}_p}}}$Y=jΩC=jωU​−ωL​ωC​+jω(ω02​ωU​−ωL​​)C1​1​=jωC′p​+jωL′p​1​
${{C'}_p} = \frac{C}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}$C′p​=ωU​−ωL​C​★
${{L'}_p} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2C}} = \frac{1}{{\omega _0^2{{C'}_p}}}$L′p​=ω02​CωU​−ωL​​=ω02​C′p​1​★
$\omega _0^2 = \frac{1}{{{{L'}_p}{{C'}_p}}}$ω02​=L′p​C′p​1​★

低通→带阻变换

$\Omega = {\left\{ {\frac{{ - {\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)} \right\}^{ - 1}}$Ω={ωU​−ωL​−ω0​​(ω0​ω​−ωω0​​)}−1
${\omega _U}{\omega _L} = \omega _0^2$ωU​ωL​=ω02​
低通→带阻变换电感电容并联
$Z = j\Omega L = jL{\left\{ {\frac{{ - {\omega _0}}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}\left( {\frac{\omega }{{{\omega _0}}} - \frac{{{\omega _0}}}{\omega }} \right)} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {\frac{1}{{jL}}} \right\}^{ - 1}}{\left\{ {\left( {\frac{{ - \omega }}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}} \right) + {{\left( {\omega \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}} \right)}^{ - 1}}} \right\}^{ - 1}}\\ = {\left\{ {\frac{{j\omega }}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)L}} + \frac{{\omega _0^2}}{{jL\omega \left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {j\omega {{C'}_p} + \frac{1}{{j\omega {{L'}_p}}}} \right\}^{ - 1}}$Z=jΩL=jL{ωU​−ωL​−ω0​​(ω0​ω​−ωω0​​)}−1={jL1​}−1{(ωU​−ωL​−ω​)+(ωω02​ωU​−ωL​​)−1}−1={(ωU​−ωL​)Ljω​+jLω(ωU​−ωL​)ω02​​}−1={jωC′p​+jωL′p​1​}−1
${{C'}_p} = \frac{1}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)L}}$C′p​=(ωU​−ωL​)L1​★
${{L'}_p} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _c^2}}L$L′p​=ωc2​ωU​−ωL​​L★
低通→带阻变换电感电容串联
$Y = j\Omega C = {\left\{ {\frac{{j\omega }}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)C}} + \frac{{\omega _0^2}}{{jC\omega \left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}} \right\}^{ - 1}} = {\left\{ {j\omega {{L'}_s} + \frac{1}{{j\omega {{C'}_s}}}} \right\}^{ - 1}}$Y=jΩC={(ωU​−ωL​)Cjω​+jCω(ωU​−ωL​)ω02​​}−1={jωL′s​+jωC′s​1​}−1
${{L'}_s} = \frac{1}{{\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)C}}$L′s​=(ωU​−ωL​)C1​★
${{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2}}C$C′s​=ω02​ωU​−ωL​​C★

8.5.2 阻抗变换

例

归一化低通滤波器电路如图所示
将其变换为特征阻抗为50欧，上下截止频率分别在1.01MHz和0.99MHz的带通滤波器
上截止频率${\omega _{\rm{U}}} = 2\pi \times 1.01 \times {10^6} \approx 6.346 \times {10^6}\left( {rad/s} \right){\rm{ }}$ωU​=2π×1.01×106≈6.346×106(rad/s)
下截止频率${\omega _L} \approx 6.220Hz \times {10^6}\left( {rad/s} \right)$ωL​≈6.220Hz×106(rad/s)
${\omega _{\rm{U}}} - {\omega _L} \approx 0.126 \times {10^6}\left( {rad/s} \right)$ωU​−ωL​≈0.126×106(rad/s)
$\omega _0^2 = 3.947 \times {10^{13}}$ω02​=3.947×1013
$\omega _0^{} = 6.283 \times {10^6}Hz$ω0​=6.283×106Hz
低通→带通变换电感电容串联
${{L'}_s} = \frac{{{R_G}L}}{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{\rm{ = }}\frac{{50 \times \sqrt 2 }}{{0.126 \times {{10}^6}}} \approx {\rm{5}}{\rm{.61}} \times {10^{ - 4}}{\rm{H}} \approx 560\mu H\\ {{C'}_s} = \frac{{{\omega _U} - {\omega _L}}}{{\omega _0^2{R_G}L}} = \frac{{0.126 \times {{10}^6}}}{{3.947 \times {{10}^{13}} \times 50 \times \sqrt 2 }} \approx 4.51 \times {10^{ - 11}} \approx 45pF$L′s​=ωU​−ωL​RG​L​=0.126×10650×2​​≈5.61×10−4H≈560μHC′s​=ω02​RG​LωU​−ωL​​=3.947×1013×50×2​0.126×106​≈4.51×10−11≈45pF
低通→带通变换电感电容并联
${{L'}_p} = \frac{{{R_G}\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}{{\omega _0^2C}} = \frac{{50 \times 0.126 \times {{10}^6}}}{{3.947 \times {{10}^{13}} \times \sqrt 2 }} \approx 1.13 \times {10^{ - 7}} \approx 110nH\\ {{C'}_p} = \frac{C}{{{R_G}\left( {{\omega _U} - {\omega _L}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{{50 \times 0.126 \times {{10}^6}}} \approx {\rm{2}}{\rm{.24}} \times {10^{ - 7}}{\rm{F}} \approx 0.22\mu F$L′p​=ω02​CRG​(ωU​−ωL​)​=3.947×1013×2​50×0.126×106​≈1.13×10−7≈110nHC′p​=RG​(ωU​−ωL​)C​=50×0.126×1062​​≈2.24×10−7F≈0.22μF
原型低通电路

实际带通电路

滤波器阶数的确定

1、巴特沃斯滤波器
一般滤波器的衰耗特性有两个要求
通带波动<指标值，低通型表示为
$IL \le I{L_{low}},\left| \omega \right| \le {\omega _L}$IL≤ILlow​,∣ω∣≤ωL​
阻带衰耗>指标值，低通型表示为
$IL \ge I{L_{high}},\left| \omega \right| \ge {\omega _H}$IL≥ILhigh​,∣ω∣≥ωH​
由指标值根据衰耗公式确定滤波器的阶数，然后生成所需滤波器。

例：根据下列指标设计阻抗为50欧的巴特沃斯低通滤波器。
通带衰耗≤2dB $\left| f \right| \le 3400Hz$∣f∣≤3400Hz
阻带衰耗≥10dB $\left| f \right| \ge 4200Hz$∣f∣≥4200Hz
通带边缘频率${\omega _L} = 2\pi \times 3400rad/s$ωL​=2π×3400rad/s
阻带下限频率${\omega _H} = 2\pi \times 4200rad/s$ωH​=2π×4200rad/s
巴特沃斯滤波器插入损耗$IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{\Omega ^{2N}}} \right) = 10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right)$IL=10log(1+a2Ω2N)=10log(1+a2(ωL​ω​)2N)
$10\log \left( {1 + {a^2}} \right) \le I{L_{low}}$10log(1+a2)≤ILlow​
$\left| \omega \right| \le {\omega _L}$∣ω∣≤ωL​
$I{L_{low}}{\rm{ = 2dB}}$ILlow​=2dB
${a^2} \le \left( {{{10}^{0.1I{L_{low}}}} - 1} \right) = \left( {{{10}^{0.2}} - 1} \right) \approx 0.585$a2≤(100.1ILlow​−1)=(100.2−1)≈0.585
$a \le 0.765$a≤0.765
$10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{{{\omega _H}}}{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right) \ge I{L_{high}} = 10dB$10log(1+a2(ωL​ωH​​)2N)≥ILhigh​=10dB
${\left( {\frac{{{\omega _H}}}{{{\omega _L}}}} \right)^{2N}} \ge \frac{{{{10}^{0.1I{L_{high}}}} - 1}}{{{a^2}}}$(ωL​ωH​​)2N≥a2100.1ILhigh​−1​
$N \ge \frac{{\log \frac{{\sqrt {{{10}^{0.1I{L_{high}}}} - 1} }}{{{a^{}}}}}}{{\log \frac{{{\omega _H}}}{{{\omega _L}}}}} = \frac{{\log \frac{{\sqrt {{{10}^1} - 1} }}{{0.765}}}}{{\log \frac{{4200}}{{3400}}}} \approx 6.46$N≥logωL​ωH​​loga100.1ILhigh​−1​​​=log34004200​log0.765101−1​​​≈6.46
取整数N=7
$IL = 10\log \left( {1 + {a^2}{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _L}}}} \right)}^{2N}}} \right) = 10\log \left( {1 + {\Omega ^{2N}}} \right):\Omega = \left( {\frac{\omega }{{{{{\omega _L}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\omega _L}} {\sqrt[N]{a}}}} \right.} {\sqrt[N]{a}}}}}} \right)$IL=10log(1+a2(ωL​ω​)2N)=10log(1+Ω2N):Ω=(ωL​/ωL​Na​Na​ω​)
频率变换
$\Omega = \frac{\omega }{{{\omega _c}}}$Ω=ωc​ω​
${\omega _c} = \frac{{{\omega _L}}}{{\sqrt[N]{a}}} = \frac{{2\pi \times 3400}}{{\sqrt[7]{{0.765}}}} \approx 22197rad/s$ωc​=Na​ωL​​=70.765​2π×3400​≈22197rad/s
确定了设计参数，剩下的问题就是查表确定归一化元件值。然后通过阻抗变换和频率变换得元件值。当然设计可以用阻抗设计（即表中第一项为串联电感），或者用导纳设计（即表中第一项为并联电容）。