线性判别分析（linear discriminant analysis），LDA。也称为Fisher线性判别（FLD）是模式识别的经典算法。
（1）中心思想：将高维的样本投影到最佳鉴别矢量空间，来达到抽取分类信息和压缩特种空间维数的效果，投影后保证样本在新的子空间有最大的类间距离和最小的类内距离。也就是说在该空间中有最佳的可分离性。
（2）与PCA的不同点：PCA主要是从特征的协方差出发，来找到比较好的投影方式，最后需要保留的特征维数可以自己选择。但是LDA更多的是考虑了类别信息，即希望投影后不同类别之间数据点的距离更大，同一类别的数据点更紧凑。
- 从图中也可以看出，LDA的投影后就已经将不同的类别分开了。
- 所以说，LDA是以分类为基准的，考虑的是如何选择投影方向使得分类更好，是有监督的。但是PCA是一种无监督的降维方式，它只是单纯的降维，只考虑如何选择投影面才能使得降维以后的样本信息保留的最大。
（3）LDA的维度：LDA降维后是与类别个数直接相关的，而与数据本身的维度没有关系。如果有C个类别，LDA降维后一般会选择1-C-1维。对于很多二分类问题，LDA之后就剩下一维，然后再找到一个分类效果最好的阈值就可以进行分类了。
（4）投影的坐标系是否正交：
PCA的投影坐标系都是正交的，而LDA是根据类别的标注，主要关注的是分类能力，因此可以不去关注石否正交，而且一般都不正交。
（5）LDA步骤：
（a）计算各个类的样本均值：
（b）计算样本总体均值：
（c）计算类间酸度矩阵和类内散度矩阵：
这个地方需要注意的是，分别求出每个类别样本的Sbi或者Swi后，在计算总体的Sb和Sw时需要做加权平均，因为每个类别中的样本数目可能是不一样的。
（d）LDA作为一个分类的算法，我们希望类内的聚合度高，即类内散度矩阵小，而类间散度矩阵大。这样的分类效果才好。因此引入Fisher鉴别准则表达式：
其中
是一个n维的列向量。Fisher线性判别就是选择使得
达到最大值的矢量作为投影方向。
可以证明，当Sw为非奇异矩阵的时候，最佳投影矩阵Wopt的列向量恰为下面的广义特征方程：
对应的最大特征值所对应的特征向量。即矩阵（inv(Sw)Sb）的特征向量。且最优投影轴的个数d<=C-1;
（e）所以，只要计算出矩阵inv(Sw)Sb的最大特征值对应的特征向量，该特征向量就是投影方向W。
（6）计算各点在投影后的方向上的投影点：
MATLAB实现代码：
%这是训练数据集
%2.9500 6.6300 0
%2.5300 7.7900 0
%3.5700 5.6500 0
%3.1600 5.4700 0
%2.5800 4.4600 1
%2.1600 6.2200 1
%3.2700 3.5200 1
X=load('22.txt');
pos0=find(X(:,3)==0);
pos1=find(X(:,3)==1);
X1=X(pos0,1:2);
X2=X(pos1,1:2);
hold on
plot(X1(:,1),X1(:,2),'r+','markerfacecolor', [ 1, 0, 0 ]);
plot(X2(:,1),X2(:,2),'b*','markerfacecolor', [ 0, 0, 1 ]);
grid on
%输出样本的二维分布
M1 = mean(X1);
M2 = mean(X2);
M = mean([X1;X2]);
%第二步：求类内散度矩阵
p = size(X1,1);
q = size(X2,1);
a=repmat(M1,4,1);
S1=(X1-a)'*(X1-a);
b=repmat(M2,3,1);
S2=(X2-b)'*(X2-b);
Sw=(p*S1+q*S2)/(p+q);
%第三步：求类间散度矩阵
sb1=(M1-M)'*(M1-M);
sb2=(M2-M)'*(M2-M);
Sb=(p*sb1+q*sb2)/(p+q);
bb=det(Sw);
%第四步：求最大特征值和特征向量
[V,L]=eig(inv(Sw)*Sb);
[a,b]=max(max(L));
W = V(:,b);%最大特征值所对应的特征向量
%第五步：画出投影线
k=W(2)/W(1);
b=0;
x=2:6;
yy=k*x+b;
plot(x,yy);%画出投影线
%计算第一类样本在直线上的投影点
xi=[];
for i=1:p
y0=X1(i,2);
x0=X1(i,1);
x1=(k*(y0-b)+x0)/(k^2+1);
xi=[xi;x1];
end
yi=k*xi+b;
XX1=[xi yi];
%计算第二类样本在直线上的投影点
xj=[];
for i=1:q
y0=X2(i,2);
x0=X2(i,1);
x1=(k*(y0-b)+x0)/(k^2+1);
xj=[xj;x1];
end
yj=k*xj+b;
XX2=[xj yj];
% y=W'*[X1;X2]';
plot(XX1(:,1),XX1(:,2),'r+','markerfacecolor', [ 1, 0, 0 ]);
plot(XX2(:,1),XX2(:,2),'b*','markerfacecolor', [ 0, 0, 1 ]);
python 实现：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
X=np.loadtxt("22.txt")
pos0=np.where(X[:,2]==0)
print(pos0)
pos1=np.where(X[:,2]==1)
print(pos1)
X1=X[pos0,0:2]
X1=X1[0,:,:]
print(X1,X1.shape)
X2=X[pos1,0:2]
X2=X2[0,:,:]
print(X2,X2.shape)
#第一步，求各个类别的均值
M1=np.mean(X1,0)M1=np.array([M1])
print(M1,M1.shape)
M2=np.mean(X2,0)
M2=np.array([M2])
print(M2)
M=np.mean(X[:,0:2],0)
M=np.array([M])
print(M)
p=np.size(X1,0)
print(p)
q=np.size(X2,0)
print(q)
#第二步，求类内散度矩阵
S1=np.dot((X1-M1).transpose(),(X1-M1))
print(S1)
S2=np.dot((X2-M2).transpose(),(X2-M2))
print(S2)
Sw=(p*S1+q*S2)/(p+q)
print(Sw)
#第三步，求类间散度矩阵
Sb1=np.dot((M1-M).transpose(),(M1-M))
print(Sb1)
Sb2=np.dot((M2-M).transpose(),(M2-M))
print(Sb2)
Sb=(p*Sb1+q*Sb2)/(p+q)
print(Sb)
#判断Sw是否可逆
bb=np.linalg.det(Sw)
print(bb)
#第四步，求最大特征值和特征向量
[V,L]=np.linalg.eig(np.dot(np.linalg.inv(Sw),Sb))
print(V,L.shape)
list1=[]
a=V
list1.extend(a)
print(list1)
b=list1.index(max(list1))
print(a[b])
W=L[:,b]
print(W,W.shape)
#根据求得的投影向量W画出投影线
k=W[1]/W[0]
b=0;
x=np.arange(2,10)
yy=k*x+b
plt.plot(x,yy)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],marker='+',color='r',s=20)
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],marker='*',color='b',s=20)
plt.grid()
plt.show()
#计算第一类样本在直线上的投影点
xi=[]
yi=[]
for i in range(0,p):
y0=X1[i,1]
x0=X1[i,0]
x1=(k*(y0-b)+x0)/(k**2+1)
y1=k*x1+b
xi.append(x1)
yi.append(y1)
print(xi)
print(yi)
#计算第二类样本在直线上的投影点
xj=[]
yj=[]
for i in range(0,q):
y0=X2[i,1]
x0=X2[i,0]
x1=(k*(y0-b)+x0)/(k**2+1)
y1=k*x1+b
xj.append(x1)
yj.append(y1)
print(xj)
print(yj)
#画出投影后的点
plt.plot(x,yy)
plt.scatter(X1[:,0],X1[:,1],marker='+',color='r',s=20)
plt.scatter(X2[:,0],X2[:,1],marker='>',color='b',s=20)
plt.grid()
plt.plot(xi,yi,'r+')
plt.plot(xj,yj,'b>')
plt.show()
