有限元计算 求解笔记(中)

时间:2024-02-20 18:22:22

有限元计算原理

4. 桁架结构

4.1 2D问题中的结构分析

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有必要声明一下已经定义的值:全局坐标(X,Y); local坐标(x,y);全局坐标下的力和位移。

一个二力杆只能受沿杆方向的力。
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在local坐标下:
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4.1.1 坐标变换

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写成矩阵形式:
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矩阵A比较特殊————
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4.1.2 单元刚度

在1D问题中单元刚度等式为
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拓展到2D空间【y方向的力都是0】:
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写成矩阵形式:
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利用坐标变换表达出全局坐标下的单元矩阵:
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全局坐标下的等式:
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4.2 求出指定点的位移

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4.2.1 点3处固定【杆3不存在】

以杆1为例:写出它的单元刚度矩阵:
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变换为全局坐标:
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杆2解法同上,但是多一条坐标变换。
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连接矩阵:
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组合起两个全局刚度矩阵:
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边界条件:
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点2上的力:
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求得点2的位移:
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4.2.2 点3处只能上下滑动【杆3存在】

这种情况比4.2.1多一个杆3。

连接矩阵:
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组合起全局刚度矩阵:
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边界条件:
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负载条件:
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求得点2,点3的位移:
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5. 线弹性【广义胡克定律的二三事】

在x方向施加非0压力:
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3个方向:
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剪切应力:
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各向同性材料的3D胡克定律:
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回忆到这个关系式:
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求得刚度矩阵:
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6. 2D平面应力

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消除3D矩阵中为0的行列,得到塑性矩阵:
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求逆得刚度矩阵:
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注意到两切应力=0:
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3D应力状态:
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求逆得塑性矩阵:
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7. 线性三角微元

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通过插值得到位移场:
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简化形式写成:
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[N]为(2X6)矩阵; {de}为(6X1)向量。

线性函数们:
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简写形式:
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以N1为例:
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得到
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求得
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A是微元的面积:
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代入得到N1:
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同理可得N2、N3:
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8. 力-位移 矩阵

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9. 高斯积分

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10. 应变能

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