有限元计算原理
4. 桁架结构
4.1 2D问题中的结构分析
有必要声明一下已经定义的值:全局坐标(X,Y); local坐标(x,y);全局坐标下的力和位移。
一个二力杆只能受沿杆方向的力。
在local坐标下:
4.1.1 坐标变换
写成矩阵形式:
矩阵A比较特殊————
4.1.2 单元刚度
在1D问题中单元刚度等式为
拓展到2D空间【y方向的力都是0】:
写成矩阵形式:
利用坐标变换表达出全局坐标下的单元矩阵:
全局坐标下的等式:
4.2 求出指定点的位移
4.2.1 点3处固定【杆3不存在】
以杆1为例:写出它的单元刚度矩阵:
变换为全局坐标:
杆2解法同上,但是多一条坐标变换。
连接矩阵:
组合起两个全局刚度矩阵:
边界条件:
点2上的力:
求得点2的位移:
4.2.2 点3处只能上下滑动【杆3存在】
这种情况比4.2.1多一个杆3。
连接矩阵:
组合起全局刚度矩阵:
边界条件:
负载条件:
求得点2,点3的位移:
5. 线弹性【广义胡克定律的二三事】
在x方向施加非0压力:
3个方向:
剪切应力:
各向同性材料的3D胡克定律:
回忆到这个关系式:
求得刚度矩阵:
6. 2D平面应力
消除3D矩阵中为0的行列,得到塑性矩阵:
求逆得刚度矩阵:
注意到两切应力=0:
3D应力状态:
求逆得塑性矩阵:
7. 线性三角微元
通过插值得到位移场:
简化形式写成:
[N]为(2X6)矩阵; {de}为(6X1)向量。
线性函数们:
简写形式:
以N1为例:
得到
求得
A是微元的面积:
代入得到N1:
同理可得N2、N3:
8. 力-位移 矩阵
9. 高斯积分
10. 应变能