学生角度看傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换（一）

学生角度看傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换（一）

• 学生角度看傅里叶变换，拉普拉斯变换，z变换（一）
  • 离散和连续信号的表示
    • 信号的脉冲表示
    • 响应与卷积
  • 傅里叶变换
    • 为什么需要傅里叶变换
    • ejwtejwte^{jwt}的理解（i，j均指虚数）
    • 傅里叶变换的信号表示、公式以及类型
    • 傅里叶变换的性质

离散和连续信号的表示

• 连续信号的脉冲表示形式
• 离散信号的脉冲表示形式
• 响应与卷积

信号的脉冲表示

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本文主要谈的是理解，选择性忽略学术意义上的一些条件与细节，再介绍傅里叶之前，先对信号的概念，表示方法进行透彻地理解。

对于一个时间、幅值均连续的信号，很直觉地采用一串脉冲序列分别与单脉冲对应的信号幅值相乘，再在时间域上累加来表示这个信号。


只有t=t0时，单位脉冲才为1，对信号进行取样，实际上脉冲表示法，就是在x轴为时间，y轴为幅值时的形状。

上述这条公式就是，对这模拟信号的表示，x( τ $\tau$）表示的是t= τ $\tau$时刻幅值大小，而 δ(t−τ) $\delta (t-\tau )$则是对x(t)的时间采样时刻，这条公式的含义就是x(t)对应的图。离散信号类似，公式如下：


x[n]中，n为时刻集合，k为第k个时刻，所以一段离散时间序列表示为第k个时刻的幅值与第k个时刻的单位脉冲相乘，此时为第k个时刻的脉冲，累加起来，表示原信号

响应与卷积

x(t)信号可以看作是输入，这个输入的执行机构是我的手，我用手拍桌子（桌子可以看作系统h(t)），然后记录桌子输出的信号y(t),那么他们之间是否具有某种联系？

自动控制原理中，常常研究系统的特性，理想状态下给一个单位脉冲输入，看看系统的输出响应是如何的，了解了这个系统的特性（关于输出/输入的函数）后，便可以利用这个系统进行控制了。调节输入，达到想要的输出，这就是控制的本质（当然还有反馈，浅谈），那在信号处理与分析里，实际上是共通的。用信号处理的公式表示了输入，如果已知系统响应（理想状态下可以通过不断给脉冲，研究系统特性），那么就可以准确计算输出信号。公式，例子如下，已知响应h[n],x[n]，计算y[n]


因为系统响应一般具有因果性，即用手脉冲式的在n=0时刻拍一下桌子，桌子是有记忆的，在n=0,n=1,n=2时刻都会给出响应（可以理解为余震），于是n=1时刻的输出信号，取决于当前时刻x[1]的输入响应与过去状态x[0]的输出响应。
这就是卷积的本质。在时域上y[n]在第n时刻的输出，受当前时刻与过去时刻系统响应输出的影响，将这些影响累加在一起，得出当前时刻n的输出，就是这条公式，与时域上卷积的含义。
要注意的是：单位脉冲信号是对输入信号x(t)进行表示，输出信号的表示依赖于系统响应与输入信号的卷积。时域上的卷积只需将n变成t，k变成 τ $\tau$，累加符号变成积分符号。即：
y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ $y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$
附个总结图：

PS:略去了信号的Power,Energy以及关于系统的因果性，稳定性，时不变性，线性等问题，只帮助较为详细的理解，以及自身对信号的复习。

傅里叶变换

-为什么需要傅里叶变换
- ejwt $e^{jwt}$的指数项究竟意味这什么
- 傅里叶变换的定义、公式、类型

为什么需要傅里叶变换

1.信号的卷积运算较为复杂
2.脉冲函数是理想的，但实际中很难有理想的脉冲信号（时间是连续的，脉冲是基于某个时间时刻的，一个连续，一个离散，该如何是好？？？）
3.傅里叶变换很好地将时域上的问题，变换到频率域，让处理过程变得更为简单

ejwt $e^{jwt}$的理解（i，j均指虚数）

e的出处本身就让人迷惑，再加上复数j，指数形式，就更让人迷糊，这究竟代表什么？
e简单来说，是一个超越数，即一个很特殊的常数， limx→0(1+x)1x=e $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$,就是说一个无限接近于1的数的无穷次方，逼近一个常数e，可见其特殊性。
由著名欧拉方程可知 ejwx=coswx+jsinwx $e^{jwx}=coswx+jsinwx$，从这点出发理解 ejwt $e^{jwt}$为一个余弦和虚部正弦信号的组合，而 j2=−1 $j^2=-1$可将复数j理解为逆时针旋转90度的旋转量，而最终 ejwt $e^{jwt}$ 的值为z轴。语言苍白无力，请看下图


ejwt $e^{jwt}$的看法取决于你选的轴，可以选时间轴t与z轴，也可选w轴与z轴，最终，整个项可理解成一个螺线型的信号特点，即将w看成常熟，假设为 w0 $w_0$，则 ejw0t $e^{j{w}_{0}t}$表示的是，频率为 w0 $w_0$的螺线型信号，分为实部虚部的话，如下图：（此处选择了w=5，即 ej5t $e^{j5t}$，以时间域的角度来看.）
这一项的理解，事关重要，此处强烈推荐一个视频傅里叶变换的形象解释

傅里叶变换的信号表示、公式以及类型

1. 信号复指数表示法：若给一个系统H(s),输入 est $e^{st}$的信号，系统输出为 H(s)∗est $H(s)\ast e^{st}$，则基带信号输入，输出具有相似形式，于是我们希望输入 x(t) $x(t)$可以由这种元信号表示（傅里叶证明了可以，这种表示与脉冲表示，都仅仅是表示形式，并非变换），即：， ak $a_k$可看作对应元信号的幅值， sk=jwk $s_k=j{w}_k$可看作标志元信号频率特征的参数，于是可以理解为：在时间域上，任何一个信号都能表示成不同频率正弦与余弦信号的组合的叠加。如下图：

2.傅里叶级数与傅里叶变换（连续、周期）

（小公式补充： w=2πf=2πT $w=2\pi f=\frac{2\pi }{T}$,确保理解f，w，T的物理意义)

傅里叶级数，适用信号是连续、周期信号，意味着有信号自带的基频 w0 $w_0$，这说明给定一个连续、周期为T（已知）的信号，可以将信号表示成傅里叶级数的形式，在变换中，维持着某种正弦与余弦组合不变这种特征，仅仅是幅值发生了变化，相当于是找到了一组信号基，来表示原始信号，而 ak $a_k$即为傅里叶级数的幅度。通俗理解：一个连续周期为T，基频为 w0 $w_0$的信号，可以表示为无限多个幅度为 ak $a_k$，信号基为 ejkw0t $e^{jk{w}_{0}t}$的叠加。（确保自己较为理解 ejkw0t $e^{jk{w}_{0}t}$）

信号最小周期为T，自身有效信号为T1，当周期T相对自身信号扩张时，频谱的表现越来越平滑，从而当 T→∞ $T\to \mathrm{\infty }$时，原信号连续、周期化身为连续非周期，其频谱从离散、非周期到连续非周期（更为平滑），从而导出傅里叶变换（连续非周期的信号），变换公式如下：（真正的傅里叶变换）

对函数 h(τ) $h(\tau )$的傅里叶变换后的傅里叶函数为 H(jw) $H(jw)$, τ与t $\tau 与t$是一样的，公式含义为：对函数 h(τ) $h(\tau )$这个信号在时间域上进行积分，变换到频率域上，得到关于这一个信号频率域的表示函数，无论是 h(τ) $h(\tau )$还是 H(jw) $H(jw)$表示的都是同一个信号，仅仅是表示的轴不同，即我们看待的角度的不同，从时间域上看，转成成频率域上看。
3.离散时间傅里叶变换（非周期、离散）与离散傅里叶变换（周期离散）（DTFT与DFT）
本质上与连续时间类似，特别注意的点就是如下图，离散信号的频谱是具有周期性的，主要原因是因为它的离散基函数，由于时间是整数时刻的关系，导致其频谱折叠，理解得更深一层，就是在复平面的jw轴上进行了折叠

下面直接给出公式，N为离散的时刻序列点数，实际上可看作连续时间的T。


想要更为深入理解离散傅里叶变换的可参阅理解离散傅立叶变换

傅里叶变换的性质

傅里叶变换本来打算用离散角度来描述，毕竟个人感觉离散角度，实际上盲点还是比较多的，但写着写着就忘了，只能笼统地、不知廉耻地贴上离散傅里叶变换的公式，等有空的时候再来修改，补几个复平面上的图。或者等讲到z变换时，再从离散角度切入。

性质：

PS：诸如傅里叶逆变换，复平面图表示，拉普拉斯变换以及z变换，一些更深入的内容，等有时间再更，and理解了这些基础概念，就可以更深入参阅斯坦福大学的网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/fouriertransforms.html

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