拉普拉斯变换 傅里叶变换 Z变换

1、Z变换在数学和信号处理上，把一连串离散的实数或复数信号，从时域转为频域表示。

2、拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏转换，其符号为。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t ≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示。

3、傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。

4、离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT），是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其DTFT的频域采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作其周期延拓的变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换计算DFT。

5、离散时间傅里叶变换（DTFT，Discrete-timeFourier Transform）是傅里叶变换的一种。它将以离散时间（其中，为采样间隔）作为变量的函数（离散时间信号）变换到连续的频域，即产生这个离散时间信号的连续频谱，值得注意的是这一频谱是周期的。

关系：

1、所谓的域就相当于坐标，即用某种坐标衡量系统。

时域和频域之间使用傅里叶变换和反变换进行转换；

时域和复频域之间使用拉普拉斯变换和反变换进行转换。

2、fourier变换是将连续的时间域信号转变到频率域；

laplace变换是fourier变换的推广，存在条件比fourier变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频域（整个S复平面，而fourier变换此时可看成仅在jΩ轴）；

z变换则是连续信号经过理想采样之后的离散时间信号(序列)的laplace变换，再令z=e^sT时的变换结果（T为采样周期），所对应的域为复频域(Z平面 单位圆)。