封面是福州的福道，从高处往下看福道上的人在转圈圈。从傅里叶变换后的频域角度来看，我们的生活也是一直在转圈圈，转圈圈也是好事，说明生活有规律，而我们应该思考的是，如何更有效率地转圈圈……哦别误会，我真不是在说内卷（狗头）。

本文会讲到离散傅里叶、实信号、负频率、fftshift、实信号、共轭等概念。

离散傅里叶变换

上一篇文章里面写到了离散傅里叶变换。

公式如上，我发现，只要掌握初中的数学——加减乘除以及三角函数，就可以掌握离散傅里叶变换的运算。

上文中说过：

如果有时域数据如: [1, 2, 3] 的话，
那么代入公式算得频域数据的结果为:
[6 + 0i, -1.5 + 0.86603i, -1.5 - 0.86603i]

频域数据，就是时域数据依次代入到离散傅里叶变换公式的结果。

下面是对频域数据第二个复数：-1.5 + 0.86603i的推算过程。如下：

此时N = 3，k = 1，n = [0, 1, 2]代入到上述公式得：

只要懂得计算:

即可得出整个式子的结果。以上式子表达的即为，一个长度为3的线段，一端在坐标原点上，且线段和X轴（实部）的正半轴重叠。然后线段以坐标原点为圆心，顺时针旋转4π/3。该线段在X轴上的投影即为实部，在Y轴上的投影即为虚部。如下(手残字丑预警)：

这里多说一句，如果时域信号也是复数且虚部有值的话，例如[3, 1]，那么上图中，起始位置的[3, 0]改成[3, 1]即可，再做同样的4π/3旋转。

实部：-3 * cos(π/3) = -1.5
虚部：3 * sin(π/3) = 2.59808
即为:

同理可得：

以上相加：

1 + (-1 - i*1.732050) + (-1.5 + i*2.59808) = -1.5 + 0.86603i

至此，我们大约已经掌握了DFT（离散傅里叶变换）。DFT即计算三角函数和数据累加的过程，甚至我们也可以自己实现一个DFT函数。

fftshift

FFT即快速傅里叶变换，一种非常高效的DFT函数实现。

通常做完FFT之后，很多场景下会做fftshift。

fftshift是针对频域的，将FFT直流分量移到频谱中心。fftshift就是对换数据的左右两边置换如：
x=[1 2 3 4]
fftshift(x) -> [3 4 1 2]

用matlab或者octave运行以下代码：

clf;

fs=100;N=256;  %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs;   %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号

y1=fft(x,N);   %对信号进行快速Fourier变换
y2=fftshift(y1);

mag1=abs(y1);    %求得Fourier变换后的振幅
mag2=abs(y2);    

f1=n*fs/N;   %频率序列
f2=n*fs/N-fs/2;

subplot(2,1,1),plot(f1,mag1,\'r\');  %绘出随频率变化的振幅
xlabel(\'Freq Hz\');
ylabel(\'Amp\');title(\'plot 1 usual FFT\',\'color\',\'r\');grid on;

subplot(2,1,2),plot(f2,mag2,\'m\');  %绘出随频率变化的振幅
xlabel(\'Freq Hz\');
ylabel(\'Amp\');title(\'plot 2 FFT after fftshift\',\'color\',\'m\');grid on;