[信号] 傅里叶变换,拉普拉斯变换,DTFT变换,Z变换的关系

时间:2022-07-28 20:06:53

1.傅里叶变换是拉普拉斯的特殊情况。
只有绝对可积的连续信号才有傅里叶变换,那么那些不满足绝对可积的信号怎么办呢?只要以傅里叶变换为基础,在 e j Ω t 上乘以 e σ t 就行了(因为 e σ t 随t增大而快速趋于0),即 s = σ + j Ω 。当 σ = 0 时,又变成了傅里叶变换,所以说傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况。在图像上,傅里叶变换的值就等于拉普拉斯变换虚轴上的值。

2.DTFT是Z变换的特殊情况。
只有绝对可和的离散信号才有DTFT,所以和上面一样,Z变换用于那些不满足绝对可和的信号, z = e σ T + j Ω T (T是采样间隔),当 σ = 0 时,就是DTFT了。在图像上,DTFT就是Z平面上半径为‘ e 0 = 1 ’ 的圆上的值。

3.S域(拉普拉斯变换域)和 Z域 的关系
S域上与纵轴平行的直线 σ = a ,在Z域上即半径为 e a 的圆;
S域上与横轴平行的直线 Ω = a π / T ,在Z域上是 ω = a π 的射线。

4.为什么Z平面要设计成圆而不像S片面一样用正交的 σ 轴和 j Ω 轴?
因为离散信号的频谱是周期的,这时候在S域表示就是无数条直线,但在Z域上,在圆上表示,用旋转就可很好的反映出周期性。