HDU 6142 Jedi Council（最小割-Dinic）

Description

n 个值 wi ，每个值要么是 w 要么是 −w ，给出 q 个限制，限制有三种：

x y 0 ：wx≤wy

x y 1 ：wx=wy

x y 2 ：wx<wy

要求给出满足上述条件的赋值使得 O=∑i=1nwi+∑i=1pHi 最小，输出最小值

其中 Hi=ai|wxi−wyi|+bi|wyi−wzi|+ci|wzi−wxi|+di(wxi−wyi)+ei(wyi−wzi)+fi(wzi−wxi)

Input

第一行一整数 T 表示用例组数，每组用例首先输入四个整数 n,w,p,q ，之后 p 行每行九个整数 xi,yi,zi,ai,bi,ci,di,ei,fi ，最后 q 行每行三个整数 x,y,op 表示一组限制

(1≤n≤500,0≤w≤106,1≤p,q,ai,bi,ci,di,ei,fi≤1000,1≤xi,yi,zi,x,y≤n

Output

输出 O 的最小值

Sample Input

1
3 1 1 1
1 2 3 1 1 1 1 1 1
1 2 2

Sample Output

3

Solution

由 |a−b|+(a−b)=2⋅max{a−b,0} 知

Hi=2ai⋅max{wxi−wyi,0}+2bi⋅max{wyi−wzi,0}+2ci⋅max{wzi−wxi,0}

+((di−ai)−(fi−ci))wxi+((ei−bi)−(di−ai))wyi+((fi−ci)−(ei−bi))wzi

最小割的另一种解释：令源点 S 为 0 ，汇点 T 为 1 ，给每个点 i 赋一个值 xi=0 或 xi=1 ，那么最小割本质上是把 n 个点分成两个集合，使得花费 ∑u,vmax{xv−xu}⋅f(u,v) 最小，其中 f(u,v) 表示 u 到 v 的流量

本题类似的把 n 个点分成两个集合，一个集合赋值为 −w ，另一个集合赋值为 w ，把所有点的点权加上 w ，则点的值变成为 0 或 2w ，把单位点权取为 w ，最后算出的值乘上w即为答案，系数 2 体现在容量上即可

一.对于形如 a⋅max{wx−wy} 的项从 y 到 x 建容量为 2a 的边即可

二.对于形如 a⋅wx 的项，首先由于 wx 都被加上了 w ，所以先在答案中减掉 a

1.当 a>0 时， a⋅w=a⋅max{wx−0,0} ，从源点向 x 建容量为 2a 的边

2.当 a<0 时， a⋅w=−a⋅max{1−wx,0}+a ，从 x 向汇点容量为建 −2a 的边，多加的 2a 要在答案中减掉

三.对于限制 x y op

1.当 op=0 时， wx≤wy ，说明不能出现 wx>wy 的情况，从 y 到 x 建容量为无穷的边即可

2.当 op=1 时， wx=wy ，即为 wx≤wy 且 wy≤wx ，从 x 到 y 、从 y 到 x 均建容量为无穷的边

3.当 op=2 时， wx<wy ，即为 wx≤0 且 wy≥1 ，从源点向 x 、从 x 向汇点均建容量为无穷的边

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 505 
#define maxm 20005
#define INF 0x3f3f3f3f
int head[maxn],cur[maxn],d[maxn],st[maxm],s,e,no;//s为源点,e为汇点,n为点数,no为边数 
struct point
{
    int u,v,flow,next;
    point(){};
    point(int x,int y,int z,int w):u(x),v(y),next(z),flow(w){};
}p[maxm];
void add(int x,int y,int z)//从x到y建容量为z的边 
{
    p[no]=point(x,y,head[x],z);//前向弧,标号为偶 
    head[x]=no++;
    p[no]=point(y,x,head[y],0);//后向弧,标号为奇 
    head[y]=no++;
}
void init()//初始化 
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    no=0;
}
bool bfs()
{
    int i,x,y;
    queue<int>q;
    memset(d,-1,sizeof(d));
    d[s]=0; 
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        x=q.front();    
        q.pop();
        for(i=head[x];i!=-1;i=p[i].next)
        {
            if(p[i].flow&& d[y=p[i].v]<0)
            {
                d[y]=d[x]+1;
                if(y==e)    
                    return true;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return false;
}
int dinic()//最大流 
{
    int i,loc,top,x=s,nowflow,maxflow=0;
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(head));
        top=0;
        while(true)
        {
            if(x==e)
            {
                nowflow=INF;
                for(i=0;i<top;i++)
                {
                    if(nowflow>p[st[i]].flow)
                    {
                        nowflow=p[st[i]].flow;
                        loc=i;
                    }
                }
                for(i=0;i<top;i++)
                {
                    p[st[i]].flow-=nowflow;
                    p[st[i]^1].flow+=nowflow;
                }
                maxflow+=nowflow;
                top=loc;    
                x=p[st[top]].u;
            }
            for(i=cur[x];i!=-1;i=p[i].next)
                if(p[i].flow&&d[p[i].v]==d[x]+1) 
                    break;
            cur[x]=i;
            if(i!=-1)
            {
                st[top++]=i;
                x=p[i].v;
            }
            else 
            {
                if(!top)    
                    break;
                d[x]=-1;
                x=p[st[--top]].u;
            }
        }
    }
    return maxflow;
}
int T,n,W,P,Q,num[maxn]; 
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&W,&P,&Q);
        s=0,e=n+1;
        init();
        for(int i=1;i<=n;i++)num[i]=1;
        while(P--)
        {
            int x,y,z,a,b,c,d,e,f;
            scanf("%d%d%d%d%d%d%d%d%d",&x,&y,&z,&a,&b,&c,&d,&e,&f);
            add(y,x,4*a),add(z,y,4*b),add(x,z,4*c);
            num[x]+=(d-a)-(f-c),num[y]+=(e-b)-(d-a),num[z]+=(f-c)-(e-b);
        }
        int ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(num[i]>0)ans-=num[i],add(s,i,2*num[i]);
            else if(num[i]<0)ans+=num[i],add(i,e,-2*num[i]);
        while(Q--)
        {
            int x,y,op;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&op);
            if(op==0)add(y,x,INF);
            else if(op==1)add(x,y,INF),add(y,x,INF);
            else add(s,x,INF),add(y,e,INF);
        }
        ans+=dinic();
        printf("%I64d\n",(ll)ans*W);
    }
    return 0;
}