文件名称：高斯随机变量高斯随机向量及高斯过程-project2010教程(完全版).
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更新时间：2024-07-29 21:03:23
数字通信原理
7.3 高斯随机变量、高斯随机向量及高斯过程 本节将定义高斯随机变量、高斯随机向量及高斯过程， 导出高斯随机变量的协方差函数 及联合概率密度函数，最后给出联合高斯随机变量的几个等价条件。 若随机变量 W 的概率密度为 儿忡 则称其为正态高斯(normalized Gaussian) 随机变量，或简称为正态(normal)① 随机变量。此概 率密度函数关于 0 对称，因此 W 的均值为零。此外，根据初等概率论知识，其方差是 1(见习 题 7.1)。若随机变量 Z 为正态随机变量的放大和平移， 即 Z = σW + Z， 其中 W 是正态随机 变量，则称 Z 为高斯(Gaussian) 随机变量。 Z 的均值是 Z， 方差是 σ2. ③ σ2>0 时 ， Z 的概 率密度为 (-(z - Z)2\ fz(z ) = 可- 弓 exp I 一一一一一) (7.9) v'231:(72 w \ 2σ2 } 均值为 Z， 方差为 σ2 的高斯随机变量记为 Z"-' λ((Z ， σ2)。用高斯随机变量表示噪声时， 均值基本上总是 0，此时的概率密度为 fz(z) = ( 1/v'231:(72)exp(-z2/2σ勺， 记为 Z ，， λ((0， σ2) 。 零均值高斯随机变量可以作为噪声和其他许多物理现象的模型，主要原因是: ·零均值高斯随机变量能很好地近似大量零均值随机变量的和(中心极限定理) ; · 零均值高斯随机变量有许多重要的极限特性(见后文)。给定方差时，它是最随机的随 机变量; ·零均值高斯随机变量有一些简单的性质，便于进行理论分析; ·作为信道噪声的代表性模型零均值高斯随机变量有助于理解其他更复杂的模型。 定义 7.3.1 称 n 个随机变量 Zl ， … ， Zn 为零均值联合高斯(zero-mean jointly Gaussian)，若 存在一组独立同分布的正态随机变量 W1 ， …，矶，使得 Zk = ~二 αkmWm， 1ζ k ~ n (7.10) m =l 其中 {αkm; 1 ζk 运 n， l ~ mζ l} 是一组实数。进一步， 称巧，…，与为联合高斯(jointly Gaussian) ， 若 Zí.: = Zk + 名，其中 Zl ，… ， Zn 是零均值联合高斯，码， … ， Z~ 是一组实数。 为方便起见， 可将 n 个随机变量 Zl，… ， Zn 表示为一个随机向量③ Z = (Zl，… ， Zn)T 。 令 A 表示一个 π 川的实矩阵，其元素为 {αkm; 1 ~ k 运 π， 1 运 m ~ l} ， 则式 (7.10) 可以紧凄 表示为 Z = AW (7.11) 其中 W 是 I 个独立同分布的正态随机变量。间样，联合高斯随机向量可以表示为 z' = AW +主'，其中主'是 n 维实向量。 本章以后若无特别说明， 将假设所有随机变量、随机向量及随机过程都是零均值的。就 ①也有人把"正态随机变囊"当作"高斯随机变量"的同义词. ②也可以把确定量值 Z 定义为 σ =0 的高斯随机变囊，但此时式 (7. 9) 无效. ③给定 n 和样本空间时，随机向量的集合满足向最空问公理， 不过这里的向最记号只是为了便于爱示.