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文件名称：的密度函数为-最优状态估计 卡尔曼，h∞及非线性滤波
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文件格式：PDF
更新时间：2021-06-15 20:42:18
概率论 茆诗松 答案
则 X (1) 的密度函数为
1 1 1( 1)
/1
1( ) [1 ( )] ( ) e e e e
( / )
mm m m
m
xx x xm m mn n
nn
m m mm
mx mnx mx
p x n F x p x n
n
η η η η
η η η
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= − = ⋅ = = ，
故 X (1) 服从参数为 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
m n
m
η
, 的韦布尔分布．
26．设总体密度函数为 p (x) = 6 x (1 − x), 0 < x < 1，X1 , …, X9 是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布．
解：总体分布函数
32
0
32
00
23)23(d)1(6d)()( xxtttttttpxF
xxx
−=−=−== ∫∫ ，0 < x < 1，
因样本容量 n = 9，有样本中位数 )5(
2
15.0 xxm n ==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + ，其密度函数为
)1(6)231()23(
!4!4
!9
)()](1[)]([
!4!4
!9
)( 432432445 xxxxxxxpxFxFxp −⋅+−−⋅
=−
⋅
= ．
27．证明公式
∫∑ −−
=
− −
−−
=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 1 1
0
)1(
)!1(!
!
)1(
p
rnr
r
k
knk dxxx
rnr
n
pp
k
n
，其中 0 ≤ p ≤ 1．
证：设总体 X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，X1, X2, …, Xn 为样本，X(1), X(2), …, X(n)是顺序统计量，
则样本观测值中不超过 p 的样品个数服从二项分布 b(n, p)，即最多有 r 个样品不超过 p 的概率为
∑
=
−
+ −⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=>
r
k
knk
r ppk
n
pXP
0
)1( )1(}{ ，
因总体 X 的密度函数与分布函数分别为
⎩
⎨
⎧ <<
=
.,0
;10,1
)(
其他
x
xp
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<
=
.1,1
;10,
;0,0
)(
x
xx
x
xF
则 X(r + 1)的密度函数为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<<−
−−=−
−−
=
−−
−−
+
.,0
,10,)1(
)!1(!
!
)()](1[)]([
)!1(!
!
)(
1
1
1
其他
xxx
rnr
n
xpxFxF
rnr
n
xp
rnr
rnr
r
故 ∫∑ −−+
=
− −
−−
=>=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 1 1
)1(
0
)1(
)!1(!
!
}{)1(
p
rnr
r
r
k
knk dxxx
rnr
n
pXPpp
k
n
．
28．设总体 X 的分布函数 F(x)是连续的，X(1), …, X(n)为取自此总体的次序统计量，设ηi = F(X(i))，试证：
（1）η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn，且ηi 是来自均匀分布 U
(0, 1)总体的次序统计量；