整数划分问提？

看了道整数划分的题，没看懂，是用递归做的，
6；

5+1；

4+2，4+1+1；

3+3，3+2+1，3+1+1+1；

2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1；

1+1+1+1+1+1
谁能给我详细解释一下啊，要详细啊，小弟这里先行谢过了。

4 个解决方案

#1

先划分出一个数来，然后剩下的递归划分

比如划分6，先划分出一个2来，剩下4再递归划分，就会有
2+....的结果

如果4先划分出一个2，剩下2再递归划分，就会有
2+2+....的结果

为防止重复，这里后划分出来的数一定不大于先划分的数，所以每个+连接的表达式中的数都是递减的

#2

整数划分问题是将一个正整数n拆成一组数连加并等于n的形式，且这组数中的最大加数不大于n。
    如6的整数划分为
    
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    
    共11种。下面介绍一种通过递归方法得到一个正整数的划分数。
    
    递归函数的声明为 int split(int n, int m);其中n为要划分的正整数，m是划分中的最大加数(当m > n时，最大加数为n)，
    1 当n = 1或m = 1时，split的值为1，可根据上例看出，只有一个划分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
    可用程序表示为if(n == 1 || m == 1) return 1;
    
    2 下面看一看m 和 n的关系。它们有三种关系
    (1) m > n
    在整数划分中实际上最大加数不能大于n，因此在这种情况可以等价为split(n, n);
    可用程序表示为if(m > n) return split(n, n);    
    (2) m = n
    这种情况可用递归表示为split(n, m - 1) + 1，从以上例子中可以看出，就是最大加
    数为6和小于6的划分之和
    用程序表示为if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);
    (3) m < n
    这是最一般的情况，在划分的大多数时都是这种情况。
    从上例可以看出，设m = 4，那split(6, 4)的值是最大加数小于4划分数和整数2的划分数的和。
    因此，split(n, m)可表示为split(n, m - 1) + split(n - m, m)
    
    根据以上描述，可得源程序如下：
   
#include <stdio.h>

   int split(int n, int m)
   {
      if(n < 1 || m < 1) return 0;
      if(n == 1 || m == 1) return 1;
      if(n < m) return split(n, n);
      if(n == m) return (split(n, m - 1) + 1);
      if(n > m) return (split(n, m - 1) + split((n - m), m));
  }

int main()
{
     printf("12的划分数: %d", split(12, 12));
    return 0;
}
将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

    首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。

    这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下
int split1(int n)
{
    int i, j, m = 0, x, t1, t2;
   // 在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到，
  // 为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
    for(i = 1; (t1 = i * (i - 1) / 2) < n; i++) 
    {
        t2 = (n - t1);
        x =  t2 / i;
        if(x <= 0) break;
        if((n - t1) % i == 0)
        {
            printf("%d ", x);
            for(j = 1; j < i; j++)
                printf("%d ", x + j);
            printf("\n");
            m++;
        }
    }
    return m;
}

#3

mark

#4

#include <iostream>
using namespace std;
const int max = 100;
int	ans[max];
/*
step是指确定该划分的第step个数(从0开始数)
sum是指小于step前面的数的和
k是指划分成k份
m是这些划分的和是多少
value是指为现在要填的数(第step个数)不比value小
现在可以递归定义数m划分成k份了.
就是第一个数设置为不超过m的数,然后后面的数不比第一个数小,且刚好有k个,和为m-第一个数

如果不要求划分为k份则更简单
*/
void	solve(int step, int k, int m, int value, int sum)
{
	if (step == k - 1)
	{
		if (sum == m)
		{
			for (int i = 0; i < k; i++)
				cout<<ans[i]<<'\t';
			cout<<endl;
		}
	}
	else
	{
		for (int i = value; i <= m; i++)
			if (sum + i <= m)
			{
				ans[step + 1] = i;
				solve(step + 1, k, m, i, sum + i);
			}
			else
			{
				break;
			}
	}
}

int	main()
{

	int	m, k;

	cout<<"input m k:";
	cin>>m>>k;

	if (m > max)
	{
		cout<<"error"<<endl;
		return 1;

	}
	for (int i = 1; i <= m / k; i++)
	{
		ans[0] = i;
		solve(0, k, m, i, i);
	}

	return 0;
}