[数据结构]查找（二）

第九章 查找

9.2  动态查找表

一、二叉排序树（二叉查找树）

1．定义：

二叉排序树或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树：

（1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；

（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；

（3）它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

 

通常，取二叉链表作为二叉排序树的存储结构

typedef struct BiTNode { // 结点结构

  TElemType      data;

  struct BiTNode  *lchild, *rchild; // 左右孩子指针

} BiTNode, *BiTree;

2．二叉排序树的查找算法：

若二叉排序树为空，则查找不成功；否则，

1）若给定值等于根结点的关键字，则查找成功；

2）若给定值小于根结点的关键字，则继续在左子树上进行查找；

3）若给定值大于根结点的关键字，则继续在右子树上进行查找。

 

从上述查找过程可见，

在查找过程中，生成了一条查找路径：

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至关键字等于给定值的结点;

——查找成功

从根结点出发，沿着左分支或右分支逐层向下直至指针指向空树为止。

——查找不成功

算法描述如下：

Status SearchBST (BiTree T, KeyType key,  BiTree f, BiTree &p ) {

  // 在根指针 T 所指二叉排序树中递归地查找其

  // 关键字等于 key 的数据元素，若查找成功，

  // 则返回指针 p 指向该数据元素的结点，并返回

  // 函数值为 TRUE;  否则表明查找不成功，返回

  // 指针 p 指向查找路径*问的最后一个结点，

  // 并返回函数值为FALSE, 指针 f 指向当前访问

  // 的结点的双亲，其初始调用值为NULL

} // SearchBST

if (!T)

{ p = f;  return FALSE; }  // 查找不成功

else  if ( EQ(key, T->data.key) )

    { p = T;  return TRUE; }  // 查找成功

else  if ( LT(key, T->data.key) )

     SearchBST (T->lchild, key, T, p );  // 在左子树中继续查找

else  SearchBST (T->rchild, key, T, p ); // 在右子树中继续查找

 

3．二叉排序树的插入算法

·根据动态查找表的定义，“插入”操作在查找不成功时才进行；

·若二叉排序树为空树，则新插入的结点为新的根结点；否则，新插入的结点必为一个新的叶子结点，其插入位置由查找过程得到。

Status Insert BST(BiTree &T, ElemType e )

{

  // 当二叉排序树中不存在关键字等于 e.key 的

  // 数据元素时，插入元素值为 e 的结点，并返

  // 回 TRUE; 否则，不进行插入并返回FALSE

   if (!SearchBST ( T, e.key, NULL, p ))

     {                             }

   else return FALSE;

} // Insert BST

s = (BiTree) malloc (sizeof (BiTNode));// 为新结点分配空间

s->data = e;  

s->lchild = s->rchild = NULL;  

if  ( !p )  T = s;     // 插入 s 为新的根结点

else   if ( LT(e.key, p->data.key) )

       p->lchild = s;       // 插入 *s 为 *p 的左孩子

else  p->rchild = s;     // 插入 *s 为 *p 的右孩子

return TRUE;     // 插入成功

4．二叉排序树的删除算法

 和插入相反，删除在查找成功之后进行，并且要求在删除二叉排序树上某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。

可分三种情况讨论：

（1）被删除的结点是叶子；

（2）被删除的结点只有左子树或者只有右子树；

（3）被删除的结点既有左子树，也有右子树。

（1）被删除的结点是叶子结点

 

（2）被删除的结点只有左子树或者只有右子树

 

（3）被删除的结点既有左子树，也有右子树

 

算法描述如下：

Status DeleteBST (BiTree &T,  KeyType key ) {

  // 若二叉排序树 T 中存在其关键字等于 key 的

  // 数据元素，则删除该数据元素结点，并返回

  // 函数值 TRUE，否则返回函数值 FALSE

  if (!T)  return FALSE;

      // 不存在关键字等于key的数据元素

  else {                       }

} // DeleteBST

if ( EQ (key, T->data.key) )

{  Delete (T);   return TRUE;  }

 // 找到关键字等于key的数据元素

else if ( LT (key, T->data.key) )

  DeleteBST ( T->lchild, key );

            // 继续在左子树中进行查找

elseD  eleteBST ( T->rchild, key );

   // 继续在右子树中进行查找

其中删除操作过程如下所描述：

void Delete ( BiTree &p ){

   // 从二叉排序树中删除结点 p，

   // 并重接它的左子树或右子树

   if (!p->rchild)  {               }

   else if (!p->lchild) {                }

   else {              }

} // Delete

// 右子树为空树则只需重接它的左子树

q = p;  p = p->lchild;  free(q);

 

 // 右子树为空树则只需重接它的左子树

q = p;  p = p->lchild;  free(q);

 

// 左右子树均不空

q = p;  s = p->lchild;

while (s->rchild) { q = s;  s = s->rchild; }

                       // s 指向被删结点的前驱

p->data = s->data;

if (q != p )  q->rchild = s->lchild;             

else  q->lchild = s->lchild;

                         // 重接*q的左子树

free(s);

 

5．查找性能的分析

   对于每一棵特定的二叉排序树，均可按照平均查找长度的定义来求它的 ASL 值，显然，由值相同的 n 个关键字，构造所得的不同形态的各棵二叉排序树的平均查找长 度的值不同，甚至可能差别很大。

例如：

由关键字序列 1，2，3，4，5构造而得的二叉排序树，ASL =（1+2+3+4+5）/ 5= 3

 

由关键字序列 3，1，2，5，4构造而得的二叉排序树，ASL =（1+2+3+2+3）/ 5  = 2.2

 

下面讨论平均情况:

    不失一般性，假设长度为 n 的序列中有 k 个关键字小于第一个关键字，则必有 n-k-1 个关键字大于第一个关键字,由它构造的二叉排序树：

 

的平均查找长度是 n 和 k 的函数P(n, k)      ( 0< =k<=n-1 )。

 

 假设 n 个关键字可能出现的 n! 种排列的可能性相同，则含 n 个关键字的二叉排序树的平均查找长度：在等概率查找的情况下，

由此

 

可类似于解差分方程，此递归方程有解：

二、二叉平衡树

   二叉平衡树是二叉查找树的另一种形式，其特点为：    树中每个结点的左、右子树深度之差的绝对值不大于1  

 

结点的平衡因子：该结点的左子树的深度减去

    ( -1   0    1 )          右子树的深度

构造二叉平衡（查找）树的方法是：在插入过程中，采用平衡旋转技术。

   假设由于在二叉排序树上插入结点而失去平衡的最小子树根结点为A，沿插入

路径取直接下两层的结点为B和C，如果这三个结点处于一条直线上，则采用单旋转进行平衡化；如果这三个结点处于一条折线线上，则采用双旋转进行平衡化。失去平衡后进行调整的规律可归纳为下列4种情况：

（1）单向右旋平衡处理：(LLR)

原因：在A 的左子树根结点的左子树上插入结点，A的平衡因子由1增至2，至使以A为根的子树失去平衡。

调整方法：以结点B为旋转轴，将结点A向右旋转成为B的右子树，结点B代替原来A的位置，原来B的右子树成为A的左子树。

 

（2）单向左旋平衡处理：(RRL)

原因：在A 的右子树根结点的右子树上插入结点，A的平衡因子由-1增至-2，至使以A为根的子树失去平衡。

调整方法：以结点B为旋转轴，将结点A向左旋转成为B的左子树，结点B代替原来A的位置，原来B的左子树成为A的右子树。

 

（3）先左后右平衡处理：(LRLR)

 原因：在A 的左子树根结点的右子树上插入结点，A的平衡因子由1增至2，至使以A为根的子树失去平衡。

调整方法：先以C为旋转轴，将结点B向左旋转成为C的左子树，结点C代替原来B的位置，原来C的左子树成为B的右子树。再以C为旋转轴，将A向右旋转成为C的右子树，结点C代替原来A的位置，原来C的右子树成为B的左子树。

 

（4）先右后左平衡处理：(RLRL)

 原因：在A 的右子树根结点的左子树上插入结点，A的平衡因子由-1增至-2，至使以A为根的子树失去平衡。

调整方法：先以C为旋转轴，将结点B向右旋转成为C的右子树，结点C代替原来B的位置，原来C的右子树成为B的左子树。再以C为旋转轴，将A向左旋转成为C的左子树，结点C代替原来A的位置，原来C的左子树成为B的右子树。

 

平衡树的查找性能分析：

在平衡树上进行查找的过程和二叉排序树相同，因此，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数不超过平衡 树的深度。

问：含 n 个关键字的二叉平衡树可能达到的最大深度是多少？

先看几个具体情况:

 

反过来问，深度为 h 的二叉平衡树中所含结点的最小值 Nh 是多少？

 

由此推得，深度为 h 的二叉平衡树中所含结点的最小值 Nh = jh+2/5 - 1。

反之，含有 n 个结点的二叉平衡树能达到的最大深度 hn = logj(Ö5 (n+1)) - 2。

因此，在二叉平衡树上进行查找时，查找过程中和给定值进行比较的关键字的个数和 log(n) 相当。