二分图：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是完美匹配问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是最大匹配问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。
一些NPC问题在二分图上可以轻易的得到解决
最大独立集=总点数 - 二分图最大匹配
最小点覆盖=二分图最大匹配
最小边覆盖 = 二分图最大独立集
最小路径覆盖 =总点数 - 最大匹配数
最小顶点覆盖 = 最大匹配数
反链：一个点集，链上任意两个点x, y，满足 x 不能到达 y，且 y 也不能到达 x。
最长反链长度 = 最小链覆盖（用最少的链覆盖所有顶点）
最长链长度 = 最小反链覆盖=二分图最小路径覆盖
二分图补图最大团=总点数 - 二分图最大匹配
最大团 = 补图的最大独立集
int matching[M];/* 存储匹配结果 */
bool use[M];
bool dfs(int u){
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
// 对 u 的每个邻接点
int v=G[u][i];
if(!use[v]){ // 要求不在交替路中
use[v]=1;// 放入交替路
if(matching[v]==-1||dfs(matching[v])){
//如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功
/*如果y没有被匹配或者to[y]恰好为增广路说明找到了增广路 x -> y -> z (to[y]) yes yes */
matching[v]=u;
matching[u]=v;
return 1;
}
}
}return 0;// 不存在增广路，返回失败
}
int hungarian(){
int ans=0
memset(matching,-1,sizeof(matching));
for(int u=1;u<=n;++u){
if(matching[u]==-1){
memset(use,0,sizeof(use));
if(dfs(u))++ans;
}
}return ans;
}
//如果要使匹配字典序最小则
bool LM(int x){
int ans=0;
for(int i=0;i<G[x].size();i++)//编号从小到大
{
int y=G[x][i];
if(use[y])continue;
use[y]=1;
if(!match[y]||dfs(match[x])){
match[x]=y;
match[y]=x;
return 1;
}
}return 0;
}
void solve(){
for(int i=n;i>=1;i--){
memset(use,0,sizeof(use));
ans+=LM(i);
}
}
queue<int>Q;
int prev[M];
int Hungarian(){
int ans=0;
memset(matching,-1,sizeof(matching));
memset(check,-1,sizeof(check));
for(int i=1;i<=n;++i){
if(matching[i]==-1){
while(!Q.empty())Q.pop();
Q.push(i);
prev[i]=-1;// 设 i 为路径起点
bool flag=0;// 尚未找到增广路
while(!Q.empty()&&!flag){
int u=Q.front();
for(iterator<int>::ix=G[u].begin();ix!=G[u].end()&&!flag;++ix){
int v=edges[*ix].to;
if(check[v]!=i){
check[v]=i;
Q.push(matching[v]);
if(matching[v]>=0)prev[matching[v]]=u;// 此点为匹配点
else{// 找到未匹配点，交替路变为增广路
flag=1;
int d=u,e=v;
while(d!=-1){
int t=matching[d];
matching[d]=e;
matching[e]=d;
d=prev[d];
e=t;
}
}
}
}Q.pop();
}if(matching[i]!=-1)++ans;
}
}return ans;
}