寻找和为定值的多个数

转自《寻找和为定值的多个数》

题目描述

输入两个整数n和sum，从数列1，2，3…….n 中随意取几个数，使其和等于sum，要求将其中所有的可能组合列出来。

分析与解法

解法一

注意到取n，和不取n个区别即可，考虑是否取第n个数的策略，可以转化为一个只和前n-1个数相关的问题。
- 如果取第n个数，那么问题就转化为“取前n-1个数使得它们的和为sum-n”，对应的代码语句就是sumOfkNumber(sum - n, n - 1)；
- 如果不取第n个数，那么问题就转化为“取前n-1个数使得他们的和为sum”，对应的代码语句为sumOfkNumber(sum, n - 1)。

参考代码如下：

list<int>list1;
void SumOfkNumber(int sum, int n)
{
    // 递归出口
    if (n <= 0 || sum <= 0)
        return;

    // 输出找到的结果
    if (sum == n)
    {
        // 反转list
        list1.reverse();
        for (list<int>::iterator iter = list1.begin(); iter != list1.end(); iter++)
            cout << *iter << " + ";
        cout << n << endl;
        list1.reverse()//此处还需反转回来
    }

    list1.push_front(n);      //典型的01背包问题
    SumOfkNumber(sum - n, n - 1);   //“放”n，前n-1个数“填满”sum-n
    list1.pop_front();
    SumOfkNumber(sum, n - 1);     //不“放”n，n-1个数“填满”sum
}

解法二

这个问题属于子集和问题（也是背包问题）。本程序采用回溯法+剪枝，其中X数组是解向量，t=∑(1,..,k-1)Wi*Xi, r=∑(k,..,n)Wi，且

• 若t+Wk+W(k+1)<=M,则Xk=true，递归左儿子(X1,X2,..,X(k-1),1)；否则剪枝；
• 若t+r-Wk>=M && t+W(k+1)<=M,则置Xk=0，递归右儿子(X1,X2,..,X(k-1),0)；否则剪枝；

本题中W数组就是(1,2,..,n),所以直接用k代替WK值。

代码编写如下：

//输入t， r， 尝试Wk
void SumOfkNumber(int t, int k, int r, int& M, bool& flag, bool* X)
{
    X[k] = true;   // 选第k个数
    if (t + k == M) // 若找到一个和为M，则设置解向量的标志位，输出解
    {
        flag = true;
        for (int i = 1; i <= k; ++i)
        {
            if (X[i] == 1)
            {
                printf("%d ", i);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    else
    {   // 若第k+1个数满足条件，则递归左子树
        if (t + k + (k + 1) <= M)
        {
            SumOfkNumber(t + k, k + 1, r - k, M, flag, X);
        }
        // 若不选第k个数，选第k+1个数满足条件，则递归右子树
        if ((t + r - k >= M) && (t + (k + 1) <= M))
        {
            X[k] = false;
            SumOfkNumber(t, k + 1, r - k, M, flag, X);
        }
    }
}

void search(int& N, int& M)
{
    // 初始化解空间
    bool* X = (bool*)malloc(sizeof(bool)* (N + 1));
    memset(X, false, sizeof(bool)* (N + 1));
    int sum = (N + 1) * N * 0.5f;
    if (1 > M || sum < M) // 预先排除无解情况
    {
        printf("not found\n");
        return;
    }
    bool f = false;
    SumOfkNumber(0, 1, sum, M, f, X);
    if (!f)
    {
        printf("not found\n");
    }
    free(X);
}