[线性DP][codeforces-1110D.Jongmah]一道花里胡哨的DP题

题目来源: Codeforces - 1110D

题意：你有n张牌（1，2，3，...，m）你要尽可能多的打出[x,x+1,x+2] 或者[x,x,x]的牌型，问最多能打出多少种牌

思路：

1.三组[x,x+1,x+2]的效果等同于 [x,x,x],[x+1,x+1,x+1],[x+2,x+2,x+2]，所以每种顺子牌型最多打2次（如果多于2次，可以被少于3次的方案替代掉，因此忽略）

2.对于每一种牌，用途只有四种。[i-2,i-1,i], [i-1,i,i+1], [i,i+1,i+2], [i,i,i]

　我们可以枚举每张牌在四种用途里分别投入了多少

　由简单的容斥原理，我们只需要枚举三种顺子牌型分别有x,y,z组，那么[i,i,i]就有(c[i]-x-y-z)/3组

　于是我们就有了线性dp的思路

　如果建立dp[maxn][3][3][3]，dp[i][x][y][z]表示在第i阶段，第i张牌用来组成三种牌型分别有x,y,z组的最优结果，有dp[i][x][y][z] = max{dp[i-1][?][x][y]} + z + (c[i] - x - y - z) / 3, ans = max{dp[n][?][0][0])

　AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
int n;
int c[maxn];
int dp[maxn][3][3][3];
int main(){
    //freopen("data.in","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int cc,t;
    cin >> cc >> n;
    for(int i = 1; i <= cc; i++){
        cin >> t;
        c[t]++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int x = 0; x < 3; x++){
            for(int y = 0; y < 3; y++){
                for(int z = 0; z < 3; z++){
                    if(x + y + z > c[i])continue;
                    for(int t = 0; t < 3; t++)
                        dp[i][x][y][z] = max(dp[i][x][y][z], dp[i-1][t][x][y] + z + (c[i]-x-y-z)/3);
                }
            }
        }
    }
    int ans;
    for(int t = 0; t < 3; t++){
        ans = max(ans, dp[n][t][0][0]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

3.仔细观察上面的代码，我们发现在状态转移过程中，两个方程中都有[x][y]，状态之间的联系太过紧密，可以尝试优化一下

　如果建立dp[maxn][3][3]，少了一个维度，dp[i][x][y] 表示有x组[i-1,i,i+1],y组[i,i+1,i+2]时的最优结果，有dp[i][x][y] = max{dp[i-1][?][x] + y + (c[i] - ? - x - y)/3}

　AC代码：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 5;
int n;
int c[maxn];
int dp[maxn][3][3];
int main(){
    //freopen("data.in","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int cc,t;
    cin >> cc >> n;
    for(int i = 1; i <= cc; i++){
        cin >> t;
        c[t]++;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int x = 0; x < 3; x++){
            for(int y = 0; y < 3; y++){
                for(int z = 0; z < 3; z++){
                    if(x + y + z > c[i])continue;
                    dp[i][y][z] = max(dp[i][y][z], dp[i-1][x][y] + z + (c[i]-x-y-z)/3);
                }
            }
        }
    }
    int ans = dp[n][0][0];
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

4.由于每一阶段的决策只与上一阶段有关，可以使用滚动数组进行进一步优化。