POJ 2891 扩展欧几里德

时间：2023-03-08 16:57:19

这个题乍一看跟剩余定理似的，但是它不满足两两互素的条件，所以不能用剩余定理，也是给了一组同余方程，找出一个X满足这些方程，如果找不到的话就输出-1

因为它不满足互素的条件，所以两个两个的合并，最后合成一个。

题目给定的是

M % m1 = r1

M % m2 = r2

......

M % mn = rn

只需将两个式子合并成一个式子，那么这个合并的这个式子就可以继续和下面的式子继续合并，知道合到最后一个式子。

首先来看下两个式子怎么合并。

M % m1 = r1    可以写成  M = k1 * m1 + r1;

同理M =  k2 * m2 + r2

所以k1 * m1 + r1  = k2 * m2 + r2

k1 * m1 - k2 * m2 = r2 - r1

将k1 看成x, m1看成a, k2看成y, m2看成b, r2 - r1看成c

那么这个式子就变成了

ax-by=c;不定方程

这时候就可以用不定方程来解了。

因为题目给的两两可能不互素，所以gcd(a, b) 有可能不等于1，所以，这个方程不一定有解，所以就是判断这个题有没有解的条件。

如果有解的话，用扩展欧几里德可以的出这个方程的解，然后将x带入到 k1 * m1 + r1中得到Ｍ，这时候Ｍ就是这两个方程组的一个特解，通解就是M' = M + Ｋ * LCM(m1, m2);

这个式子可以变化成M' % LCM(m1, m2) = Ｍ;所以又可以继续跟下面的式子合并了。所以这个式子对应的余数r就是Ｍ， 模数(就是式子中的mi)就是LCM(m1,m2);

到这里之后就合并好了一个式子。下面就是继续按照这个过程合并到第n个式子了。最后合并完之后就剩下一个式子，求出来的Ｍ就是方程组的特解，通解为M' = M + k * LCM; 其中LCM = LCM(m1, m2...mn), 最小正整数解为(M %  LCM + LCM) % LCM;

还有一个坑就是如果边输入边处理的话，不要找到无解立马就跳出循环，因为后面的数据还没输入完。

代码如下：

    /*************************************************************************

        > File Name: 5.cpp

        > Author: Howe Young

        > Mail: 1013410795@qq.com

        > Created Time: 2015年08月01日 星期六 15时39分47秒

     ************************************************************************/

    #include <iostream>

    #include <cstdio>

    using namespace std;

    const int maxn = 1e5 + ;

    typedef long long ll;

    ll m[maxn], r[maxn];

    ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)

    {

        if (b == )

        {

            x = ;

            y = ;

            return a;

        }

        ll r = exgcd(b, a % b, x, y);

        ll t = x;

        x = y;

        y = t - a / b * y;

        return r;

    }

    int main()

    {

        int k;

        while (~scanf("%d", &k))

        {

            for (int i = ; i <= k; i++)

                scanf("%lld %lld", &m[i], &r[i]);

            ll m1, m2, r1, r2, c, d;

            m1 = m[]; r1 = r[];

            bool flag = true;

            for (int i = ; i <= k; i++)

            {

                ll x, y;

                d = exgcd(m1, m[i], x, y);

                if ((r[i] - r1) % d != )

                {

                    flag = false;

                    break;

                }

                c = r[i] - r1;

                x = c / d * x % (m[i] / d);

                r1 = m1 * x + r1;

                m1 = m1 / d * m[i];

                r1 %= m1;

            }

            if (!flag)

            {

                printf("-1\n");

                continue;

            }

            r1 = (r1 + m1) % m1;

            printf("%lld\n", r1);

        }

        return ;

    }

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