除了期望，方差(variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置，那么方差就是分布的离散程度。方差越大，说明随机变量取值越离散。
比如射箭时，一个优秀的选手能保持自己的弓箭集中于目标点附近，而一个经验不足的选手，他弓箭的落点会更容易散落许多地方。
上面的靶上有两套落点。尽管两套落点的平均中心位置都在原点 (即期望相同），但两套落点的离散程度明显有区别。蓝色的点离散程度更小。
数学上，我们用方差来代表一组数据或者某个概率分布的离散程度。可见，方差是独立于期望的另一个对分布的度量。两个分布，完全可能有相同的期望，而方差不同，正如我们上面的箭靶。
方差
对于一个随机变量X来说，它的方差为:
其中，μ表示X的期望值，即μ=E（X）。
我们可以代入期望的数学表达形式。比如连续随机变量：
方差概念背后的逻辑很简单。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度。平方的最小取值为 0。当取值与期望值相同时，此时不离散，平方为0，即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时，平方增大。由于取值是随机的，不同取值的概率不同，我们根据概率对该平方进行加权平均，也就获得整体的离散程度——方差。
方差的平方根称为标准差(standard deviation, 简写std)。我们常用σ表示标准差
标准差也表示分布的离散程度。
正态分布的方差
根据上面的定义，可以算出正态分布
的方差为
正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σ。这正是我们使用字母来σ表示标准差的原因！
可以预期到，正态分布的σ越大，分布离散越大，正如我们从下面的分布曲线中看到的:
指数分布的方差
指数分布的表达式为
它的方差为
如下图所示:
Chebyshev不等式
我们一直在强调，标准差(和方差)表示分布的离散程度。标准差越大，随机变量取值偏离平均值的可能性越大。如何定量的说明这一点呢？我们可以计算一个随机变量与期望偏离超过某个量的可能性。比如偏离超过2个标准差的可能性。即
这个概率依赖于分布本身的类型。比如正态分布N(0,1)，这一概率即为x大于2，或者x小于-2的部分对应的曲线下面积：
实际上，无论μ和σ如何取值，对于正态分布来说，偏离期望超过两个标准差的概率都相同，约等于0.0455 (可以根据正态分布的表达式计算)。随机变量的取值有约95.545%的可能性落在正负两个标准差的区间内，即从-2到2。如果我们放大区间，比如正负三个标准差，这一概率超过99%。我们可以相当有把握的说，随机变量会落正负三个标准差之内。上面的论述并不依赖于标准差的具体值。这里可以看到标准差所衡量的“离散”的真正含义：如果取相同概率的极端值区间，比如上面的0.0455，标准差越大，该极端值区间距离中心值越远。
然而，上面的计算和表述依赖于分布的类型（正态分布）。如何将相似的方差含义套用在其它随机变量身上呢？
Chebyshev不等式让我们摆脱了对分布类型的依赖。它的叙述如下：
对于任意随机变量X，如果它的期望为μ，方差为
，那么对于任意t>0，
无论X是什么分布，上述不等式成立。我们让t=2σ，那么
也就是说，X的取值超过两个正负标准差的可能性最多为25%。换句话说，随机变量至少有75%的概率落在正负两个标准差的范围内。（显然这是最“坏”的情况下。正态分布显然不是”最坏“的）