Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描述
1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).重复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；
b.将v加入集合Vnew中，将<u, v>边加入集合Enew中；
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
下面对算法的图例描述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
|
|
此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 | - | - | - |
|
顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
|
|
下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
 |
算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
|
|
在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
|
|
这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
|
顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
|
现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：假设prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>加入G0中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故假设不成立，命题得证.
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10
int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点
void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;
for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
{
lowcost[i]=edge[start][i];
addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内，这里只要对应的为-1，就表示在Vnew之外
}
addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;
for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
{
min=lowcost[j];
v=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]=0; //将v加Vnew中
sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点，e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
添加这条边到图Graphnew中
图例描述：
首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边
将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。
下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。
归纳基础：
n=1，显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
typedef struct
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;
typedef struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;
void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum]; //辅助数组，判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i;
E[k].v=j;
E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
}
}
heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
{
vset[i]=i;
}
k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数
j=0; //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1=vset[E[j].u];
sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边加入最小生成树
{
printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
if (vset[i]==sn2)
{
vset[i]=sn1;
}
}
}
j++;
}
}
时间复杂度：elog2e e为图中的边数
------------------------------------------------------------------------------------------------
图的遍历是树的遍历的推广，是按照某种规则(或次序)访问图中各顶点依次且仅一次的操作，亦是将网络结构按某种规则线性化的过程。由于图存在回路，为区别一顶点是否被访问过和避免顶点被多次访问，在遍历过程中，应记下每个访问过的顶点，即每个顶点对应有一个标志位，初始为False,一旦该顶点被访问，就将其置为True,以后若又碰到该顶点时，视其标志的状态，而决定是否对其访问。
对图的遍历通常有"深度优先搜索"和"广度优先搜索"方法，二者是人工智能的一个基础。
深度优先搜索(Depth First Search,简称DFS)
算法思路:
类似树的先根遍历。设初始化时，图中各顶点均未被访问，从图中某个顶点(设为V0)出发，访问V0,然后搜索V0的一个邻接点Vi,若Vi未被访问，则访问之，在 搜索Vi的一个邻接点(深度优先)...。若某顶点的邻接点全部访问完毕，则回溯(Backtracking)到它的上一顶点，然后再从此顶点又按深度优先的方法搜索下去，...，直到能访问的顶点都访问完毕为止。
设图G10如下图所示:
通过深度优先如下:
广度优先搜索(Breadth First Search),简称BFS算法思路:
类似树的按层次遍历。初始时，图中各顶点均未被访问，从图中某顶点(V0)出发，访问V0,并依次访问V0的各邻接点(广度优先)。然后，分别从这些被访问过的顶点出发，扔仍按照广度优先的策略搜索其它顶点,....,直到能访问的顶点都访问完毕为止。
为控制广度优先的正确搜索，要用到队列技术，即访问完一个顶点后，让该顶点的序号进队。然后取相应队头(出队),考察访问过的顶点的各邻接点，将未访问过的邻接点访问 后再依次进队，...,直到队空为止。
通过广度优先如下:
下面看一下实现代码:
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #include <string.h>
- #define MAX 20
-
//访问记录
-
int visit[MAX];
-
//图的结构设计
- typedef struct
-
{
- int vex[MAX];//记录顶点
- int adjmatrix[MAX][MAX];//邻接矩阵
- int n;//顶点的个数
-
}GRAPH;
-
//初始化图
-
int init_graph(GRAPH *pG)
-
{
- memset(pG,0,sizeof(GRAPH));
- pG->n = -1;
- printf("input vex\n");
- while(scanf("%d",&pG->vex[++pG->n]));
- while(getchar() != '\n');
- #ifndef _DEBUG_
- int i = 0;
- for(i = 0;i < pG->n ;i ++)
- {
- printf("V%d ",pG->vex[i]);
- }
- printf("\n");
- #endif
-
- return 0;
-
}
-
//获取顶点的位置
-
int locatevex(GRAPH *pG,int vex)
-
{
- int i = 0;
- for(i = 0;i < pG->n;i ++)
- {
- if(pG->vex[i] == vex )
- return i;
- }
-
- return 0;
-
}
-
//输入图的顶点之间的边
-
int input_edge(GRAPH *pG)
-
{
- int vex1,vex2;
- int i,j;
- printf("input edge(i,j):\n");
- //任意字母键结束
- while(scanf("(%d,%d)",&vex1,&vex2))
- {
- getchar();
- i = locatevex(pG,vex1);
- j = locatevex(pG,vex2);
- pG->adjmatrix[i][j] = pG->adjmatrix[j][i] = 1;
- }
- #ifndef _DEBUG_
- int m,n;
- for(m = 0;m < pG->n;m ++)
- {
- for(n = 0;n < pG->n; n ++)
- {
- printf("%d ",pG->adjmatrix[m][n]);
- }
- printf("\n");
- }
- #endif
- return 0;
-
}
-
//栈的设计
- typedef struct
-
{
- int buf[MAX];
- int n;
-
}Stack;
-
//创建空栈
- Stack *create_empty_stack()
-
{
- Stack *stack;
- stack = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
- stack->n = -1;
- return stack;
-
}
-
//出栈
-
int pop_stack(Stack *stack)
-
{
- int temp;
- temp = stack->buf[stack->n];
- stack->n --;
- return temp;
-
}
-
//入栈
-
int push_stack(Stack *stack,int data)
-
{
- stack->n ++;
- stack->buf[stack->n] = data;
- return 0;
-
}
-
//判断空栈
-
int is_empty_stack(Stack *stack)
-
{
- if(stack->n == -1)
- return 1;
- else
- return 0;
-
}
-
int visit_all(GRAPH *pG)
-
{
- int i = 0;
-
- for(i = 0;i < pG->n; i ++)
- {
- if(visit[i] != 1)
- break;
- }
- if(i == pG->n)
- return 1;
- else
- return 0;
-
}
-
//图的深度非递归遍历
-
int DFS(GRAPH *pG,int v)
-
{
- Stack *stack;
- int i = 0;
-
- stack = create_empty_stack();
- push_stack(stack,pG->vex[v]);
- visit[v] = 1;
- printf("V%d ",pG->vex[v]);
-
- while(!is_empty_stack(stack) || !visit_all(pG))
- {
- for(i = 0;i < pG->n;i ++)
- {
- if(visit[i] == 0 && pG->adjmatrix[v][i] == 1)
- break;
- }
- if(i == pG->n)
- {
- v = pop_stack(stack);
-
- }else{
-
- v = i;
- push_stack(stack,pG->vex[v]);
- visit[v] = 1;
- printf("V%d ",pG->vex[v]);
- }
- }
- printf("\n");
- return 0;
-
}
-
//队列的设计
- typedef struct node
-
{
- int data;
- struct node *next;
-
-
}ListNode;
- typedef struct
-
{
- ListNode *front;
- ListNode *rear;
-
}Queue;
-
//创建空队列
- Queue *create_empty_queue()
-
{
- Queue *queue;
- ListNode *head;
- queue = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
- head = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));
- queue->front = queue->rear = head;
- return queue;
-
}
-
//判断队列是否为空
-
int is_empty_queue(Queue *queue)
-
{
- if(queue->rear == queue->front)
- return 1;
- else
- return 0;
-
}
-
//入队
-
int EnterQueue(Queue *queue,int data)
-
{
- ListNode *temp;
- temp = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));
- temp->data = data;
- temp->next = NULL;
- queue->rear->next = temp;
- queue->rear = temp;
- return 0;
-
}
-
//出队
-
int DelQueue(Queue *queue)
-
{
- ListNode *temp;
- temp = queue->front;
- queue->front = queue->front->next;
- free(temp);
- temp = NULL;
- return queue->front->data;
-
}
-
//图的广度遍历
-
int BFS(GRAPH *pG,int v)
-
{
- Queue *queue = create_empty_queue();
- int i = 0;
-
- memset(&visit,0,sizeof(visit));
- EnterQueue(queue,v);
- visit[v] = 1;
- while(!is_empty_queue(queue))
- {
- v = DelQueue(queue);
- printf("V%d ",pG->vex[v]);
-
-
- for(i = 0;i < pG->n;i ++)
- {
- if(visit[i] == 0 && pG->adjmatrix[v][i] == 1)
- {
- EnterQueue(queue,i);
- visit[i] = 1;
- }
- }
- }
- printf("\n");
- return 0;
-
}
-
int main()
-
{
- GRAPH G;
- int n;
- //输入顶点，初始化图
- init_graph(&G);
- //初始化邻接矩阵
- input_edge(&G);
- //图的深度遍历
- DFS(&G, 0);
- //图的广度遍历
- BFS(&G,0);
-
- return 0;
- }
