Warshall传递闭包算法的学习与实现

1、问题引入

　　一个有n个顶点的有向图的传递闭包为：有向图中的初始路径可达情况可以参见其邻接矩阵A，邻接矩阵中A[i,j]表示i到j是否直接可达，若直接可达，则A[i,j]记为1，否则记为0；两个有向图中i到j有路径表示从i点开始经过其他点（或者不经过其他点）能够到达j点，如果i到j有路径，则将T[i,j]设置为1，否则设置为0；有向图的传递闭包表示从邻接矩阵A出发，求的所有节点间的路径可达情况，该矩阵就为所要求的传递闭包矩阵。。。

例如：

有向图为：

由该有向图可以得到初始的邻接矩阵为：

那么warshall传递闭包算法的目的就是由邻接矩阵出发，进行探索求出最终的传递闭包：

2、动态规划求解思路

　　动态规划将问题分段，本例warshall算法是通过一系列n阶矩阵r^（k）来构造最终阶段n阶传递闭包矩阵r^（n）

    　　 R(k) 由它的前趋 R(k-1) 计算得到（分级推进计算）。

    　　R(0) ——该矩阵不允许它的路径中包含任何中间顶点，即从该矩阵的任意顶点出发的路径不含有中间顶点，此即邻接矩阵。

    　　R(1) ——允许路径中包含第1个顶点（本例编号 1）作为中间顶点。

   　　 R(2) ——允许路径中包含前2个顶点（本例编号1 2）作为中间顶点。

   　　 R(k) ——允许路径中包含前k个顶点作为中间顶点。

    　　R(n) ——允许路径中包含全部 n 个顶点作为中间顶点。

    　　每个后继矩阵 R(k) 对其前趋 R(k-1) 来说，在路径上允许增加一个顶点， 因此有可能包含更多的1（增加前为1的在增加后依然为1）。

3、具体的算法描述

warshall（A[1...n,1...n]
r(0)<-A;
for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]);
return r(n);

4、具体实现代码如下
　　说明：（1）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵存储在2.txt中（具体如下图），其中4表示有向图中有4 个顶点，其他表示初始邻接矩阵。

　　　　　（2）有向图的顶点个数和初始邻接矩阵个数可以随意更改，，，，

     具体代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void Warshall(int,int**);
void main()
{
    int i,j,num;
    FILE*p;
    p=fopen("2.txt","r");
    if(p==NULL)
    {
        printf("cannot open 2.txt");
        exit(-1);
    }
    fscanf(p,"%d",&num);
    int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
    for(i=0;i<num+1;i++)
        r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    for(i=1;i<num+1;i++)
        for(j=1;j<num+1;j++)
            fscanf(p,"%d",&r[i][j]);
    printf("顶点个数为：%d\n",num);
    printf("邻接矩阵为：\n");
    for(i=1;i<num+1;i++)
    {
        for(j=1;j<num+1;j++)
            printf(" %d  ",r[i][j]);
        printf("\n");
    }
    Warshall(num,r);
    printf("最终的传递闭包为\n");
    for(i=1;i<num+1;i++)
    {
        for(j=1;j<num+1;j++)
            printf(" %d  ",r[i][j]);
        printf("\n");
    }

}
//三重循环实现的warshall算法
//r为邻接矩阵，中间存储初试的可达与非可达路径情况，1表示可达，0表示不可达
void Warshall(int num,int**r)
{
    int i,j,k;
    int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
    for(i=0;i<num+1;i++)
        temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作为中间点的顶点
    {
        for(i=1;i<=num;i++)
        {
            for(j=1;j<=num;j++)
            {
                temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]);
            }
        }
        for(i=1;i<=num;i++)
            for(j=1;j<=num;j++)
                r[i][j]=temp[i][j];
    }

}

5、结果如下：

 

6、参考文献

（1）算法导论

（2）数据结构 严蔚敏

（3）网上下载的ppt（第8章 动态规划）