计算机视觉中经常需要识别或者定位某些几何图形，比如直线、圆、椭圆，还有其他一些图形。检测直线的霍夫变换提供了在图像中寻找直线的一种算法，是最简单的一种情形，后来发展到检测圆、椭圆、还有一般图形的霍夫变换。
其核心思想是把图像中属于某种图形的点集（二维）映射到一个点（可以是高维）上，这个点记录了点集中点的数目，使得程序通过搜索峰值找到该点，这个点就是后面要说到的图形的参数，而该参数的范围就叫做参数空间。
霍夫变换不仅能够识别出图像中有无需要检测的图形，而且能够定位到该图像（包括位置、角度等），下面将通过分析从简单到复杂的霍夫变换，导出霍夫变换的实质。
（1）直线
以直线检测为例，每个像素坐标点经过变换都变成都直线特质有贡献的统一度量，一个简单的例子如下：一条直线在图像中是一系列离散点的集合，通过一个直线的离散极坐标公式，可以表达出直线的离散点几何等式如下：
X *cos(theta) + y * sin(theta) = r
其中角度theta指r与X轴之间的夹角，r为到直线几何垂直距离。任何在直线上点，x, y都可以表达，其中 r， theta是常量。
检测直线的霍夫变换使用含极坐标参数的直线表示型式简称极坐标式（不是极坐标方程，因为还是在笛卡尔坐标下表示）
其中的两个参数的意义如下图：
两坐标之间的关系：
在直角坐标系和极坐标系的对应关系，点、直线在两个坐标系中是对偶关系。
即直角坐标系中的点是极坐标系中的线，直角坐标系中的线是极坐标系中的点。
图示为：
图像中直线的表示，由斜率和截距表示，而极坐标中用(r, theta)表示.r = cos(theta)*x + sin(theta)*y
对于点(x0, y0) , 在极坐标中就是一条直线（很多对（r，theta）点）:r = cos(theta)*x0 + sin(theta)*y0
r，theta就是一对hough空间的变量表示。旋转的theta不容易表示，若将r，theta看成直角坐标空间。一个点(x0, y0), 就是一个正弦曲线。
r = cos(theta)*x0 + sin(theta)*y0
直角坐标系中的一点 对应于r-theta空间的一条正弦曲线
说明：为什么要用极坐标式而不直接用一般形式：ax+by=c（归一化可以去掉参数c），或者其他的如斜截式、截距式呢？
1）避免奇异。首先它们都会遇到奇异情况，比如c=0，斜率=无穷大，其中一个截距=0；再一个是某些形式的参数空间不是闭的，比如斜截式的斜率k，取值范围从0到无穷大，给量化搜索带来了困难。而极坐标式就妙在距离和角度两个参数都是有界的，而且正余弦函数也有界不会发生奇异情况。
2）图像理解物理意义。在实现的图像处理领域，图像的像素坐标P(x, y)是已知的，而r, theta则是我们要寻找的变量。如果我们能绘制每个(r, theta)值根据像素点坐标P(x, y)值的话，那么就从图像笛卡尔坐标系统转换到极坐标霍夫空间系统，这种从点到曲线的变换称为直线的霍夫变换。变换通过量化霍夫参数空间为有限个值间隔等分或者累加格子。当霍夫变换算法开始，每个像素坐标点P(x, y)被转换到(r, theta)的曲线点上面，累加到对应的格子数据点，当一个波峰出现时候，说明有直线存在。
多个点在（r，theta）平面上就是多条正弦曲线，而多条正弦曲线会相交，交点就是直角坐标系中的直线。
直角坐标系中的一条直线上的三个点 对应于r-theta空间中三条曲线，并交于一点
直线霍夫变换有两个参数，且这两个参数通过极坐标式相关联，所以程序在投票阶段（图形点集转换到一个点）只需要遍历其中一个，搜索峰值在二维参数空间进行。
编程实现
思路：
1. 读取一幅带处理二值图像，最好背景为黑色。
2. 取得源像素数据
3. 根据直线的霍夫变换公式完成霍夫变换，预览霍夫空间结果
4. 寻找最大霍夫值，设置阈值，反变换到图像RGB值空间(程序难点之一)
5. 越界处理，显示霍夫变换处理以后的图像
代码实现参考：http://blog.csdn.net/jia20003/article/details/7724530
houghlines的计算效率比较低O(n*n*m)，耗时较长，而且没有检测出直线的端点。
改进：统计概论霍夫直线检测houghlinesP是一个改进，不仅执行效率较高，而且能检测到直线的两个端点。
思想：先随机检测出一部分直线，然后将直线上点的排查掉，再进行其他直线的检测
1. 首先仅统计图像中非零点的个数，对于已经确认是某条直线上的点就不再变换了。
2. 对所以有非零点逐个变换到霍夫空间
a. 并累加到霍夫统计表(图像)中，并统计最大值
b. 最大值与阈值比较，小于阈值，则继续下一个点的变换
c. 若大于阈值，则有一个新的直线段要产生了
d. 计算直线上线段的端点、长度，如果符合条件，则保存此线段，并mark这个线段上的点不参与其他线段检测的变换
（2）圆
圆：霍夫变换检测圆使用圆的标准式就可以了
圆的方程又比直线多了一个参数，这三个参数通过上面的方程相关联，因此在投票阶段需要遍历其中两个，搜索峰值在三维参数空间进行。如果图像比较大，那么这样的遍历搜索是相当耗时的，所以为了满足实时性后来又发展出其他检测圆的霍夫变换，比如概率霍夫变换，结合梯度信息的霍夫变换。
可以仿照直线霍夫变换的原理：（首先，我们初始化一块缓冲区，对应于参数平面，将其所有数据置为0.对于图像上每一前景点，求出参数平面对应的直线，把这直线上的所有点的值都加１。最后，找到参数平面上最大点的位置，这个位置就是原图像上直线的参数。 ）我们可以取和图像平面一样的参数平面，以图像上每一个前景点为圆心，以已知的半径在参数平面上画圆，并把结果进行累加。最后找出参数平面上的峰值点，这个位置就对应了图像上的圆心。在这个问题里，图像平面上的每一点对应到参数平面上的一个圆。
把上面的问题改一下，假如我们不知道半径的值，而要找出图像上的圆来。这样，一个办法是把参数平面扩大称为三维空间。就是说，参数空间变为x--y--R三维，对应圆的圆心和半径。图像平面上的每一点就对应于参数空间中每个半径下的一个圆，这实际上是一个圆锥。最后当然还是找参数空间中的峰值点。不过，这个方法显然需要大量的内存，运行速度也会是很大问题。
有什么更好的方法么?我们前面假定的图像都是黑白图像(2值图像)，实际上这些2值图像多是彩色或灰度图像通过边缘提取来的。我们前面提到过，图像边缘除了位置信息，还有方向信息也很重要，这里就用上了。根据圆的性质，圆的半径一定在垂直于圆的切线的直线上，也就是说，在圆上任意一点的法线上。这样，解决上面的问题，我们仍采用2维的参数空间，对于图像上的每一前景点，加上它的方向信息，都可以确定出一条直线，圆的圆心就在这条直线上。这样一来，问题就会简单了许多。
实现：
上文中提到了检测圆的切线的方法，这里暂且不讨论，这里讨论经典HOUGH算法。下面为我写的利用极坐标表示圆的一种算法流程。
1.图像灰度化，二值化（注意：二值化的好坏对检测结果有很大影响，常用的有SOBEL算子）
2.检测图像中的边缘点，并保存其坐标位置。设置角度theta的变化范围和步长，半径r的变换范围和步长。
3.利用公式x=a+rcos(theta),y=b+rsin(theta)求出a和b的值。（注意：x和y为实际的图像空间某个边缘点的坐标，a和b为其对应的参数空间的坐标），如果a和b的值在合理的范围之类，则对该位置进行累加。
代码参考：http://blog.csdn.net/mhjerry/article/details/7061819
霍夫变换检测椭圆如果使用椭圆的标准式，那么将会有五个参数，它们通过标准式相关，检测圆就已经相当耗时了，如果再用这中方程形式处理势必失去实际用途。
（三）广义霍夫变换
Ballard (1981) 一般化了霍夫变换(Hough，1962)，利用图形梯度量加快算法速度，形成了广义霍夫变换。
透过前面的检测直线、圆、广义霍夫变换，已经可以提取出霍夫变换的一个本质——给出图形的一个描述模式，比如图形点集的方程、函数、表格等，然后利用这个模式加上遍历参数空间，把属于该模式的图形点集投射到参数空间的一个点（实际的离散情况一般不会完美的集中到一点），这个点记录的是图形点数目。
接下来还有许多类似的问题，如检测出椭圆，正方形，长方形，圆弧等等。这些方法大都类似，关键就是需要熟悉这些几何形状的数学性质。霍夫变换的应用是很广泛的，比如我们要做一个支票识别的任务，假设支票上肯定有一个红颜色的方形印章，我们可以通过霍夫变换来对这个印章进行快速定位，在配合其它手段进行其它处理。霍夫变换由于不受图像旋转的影响，所以很容易的可以用来进行定位。 霍夫变换有许多改进方法，一个比较重要的概念是广义霍夫变换，它是针对所有曲线的，用处也很大。就是针对直线的霍夫变换也有很多改进算法，比如前面的方法我们没有考虑图像上的这一直线上的点是否连续的问题，这些都要随着应用的不同而有优化的方法。
广义霍夫变换之所以能处理任意形状的图形并不是找到了可以表示任意图形的方程（这是不可能的），而是使用表的形式描述一种图形，把图形边缘点坐标保存在一张表中，那么该图形就确定下来了，所以其实无论是直线（其实是线段）、圆、椭圆还是其他形状的几何图形，都可以使用同一方法处理，所不同的是这时候的图形是自定义的，是实在的，而代数方程表示的模式是连续的、抽象的，圆的方程只有一种，但自定义的圆却是无穷的，只要你认为它足够圆了就可以。当然两种表示都会有各自的优势和局限。有了表之后就需要找到一种可以把图形点集投射到参数空间的一点的转换算法，例如直线和圆霍夫变换通过方程（函数）及遍历把点集进行投射，使得属于某直线或圆的点集中到一个点；那么仅有一张描述图形边缘坐标点的表如何进行投射呢？我们可以把这张表看作是模板，进行模板匹配，大部分的点匹配成功也就可以理解为这些点都投射到一个点上，不过这时候不需要再搜索参数空间峰值了，这种模式可以认为是参数间没有任何关联，所以是完全的遍历。但有旋转加上缩放的情况模板匹配型的霍夫变换是十分耗时的，也可以想象成因为参数不相关所以增加遍历搜索时间。Ballard (1981) 的广义霍夫变换最精妙之处在于为参数增加了两个关联，使得有平移和旋转（无缩放）的情况只需要遍历一个参数，三个参数分别是图形的中心坐标（横纵），旋转角度（相对参考图形），Ballard 的算法预先把参考图形边缘点对中心的径向量保存起来，利用待搜索图形边缘点的梯度方向（用相对坐标轴的角度表示）作为索引找到相应的径向量，加上该量后就完成了投射，所以要遍历的参数只有旋转角度，所以说有两个关联。当然如果加上缩放就要遍历两个参数，这也只是和霍夫检测圆的规模一样而已。这种广义霍夫变换的图形表不再是直接保存坐标，而是边缘点的梯度加上径向量，给出了这些量同样的也就能够表示出一种图形了。然而这种广义霍夫变换也是有缺陷的，不少后来者提出了改进方法，这不在本文讨论范围。
再来强调一次，霍夫变换就是通过图形的一种表示模式，加上一种转换方法，把图形的点集投射到一个点上以便检测。我们已经能够知道，参数个数越少，需要遍历的参数个数约少（关联越多），参数空间越小则处理速度越快。所以设计一种合理的转换方法非常关键。
对于一种图形，在现实世界中可以有多种形变，线性的如：平移、旋转、透视；非线性的如：径变、切变、扭曲。每多考虑一种形变都会增加参数，比如把椭圆看作是圆的透视形变，结果多了两个参数，理论上可以去遍历每一个参数空间，但这不能满足实时性要求，所以参数之间约束（关联）越多则处理速度越快，Ballard的广义霍夫变换就是例子，这就需要发挥主观创造力了。
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