设 $W$ 是 $n$ 维 Euclidean 空间 $V$ 的子空间, $\beta\in V$, 定义 $\beta$ 到 $W$ 的距离 $$\bex \rd (\beta,W)=|\beta-\beta'|, \eex$$ 其中 $\beta'$ 为 $\beta$ 在 $W$ 上的正交投影. 设 $\beta_1,\cdots,\beta_m$ 为 $W$ 的一组基, 则 $$\bex \rd (\beta,W)=\sqrt{\frac{G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta)}{G(\beta_1,\cdots,\beta_m)}}. \eex$$ 证明: $$\beex \bea &\quad G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta)\\ &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta'+(\beta-\beta'))\\ &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta') +G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta-\beta')\quad\sex{\mbox{行列式的性质}}\\ &=G(\beta_1,\cdots,\beta_m,\beta-\beta')\quad\sex{\beta\in W\ra \beta=\sum_i c_i\beta_i\mbox{ 及行列式的性质}}\\ &=\sev{\ba{cccc} (\beta_1,\beta_1)&\cdots&(\beta_1,\beta_m)&(\beta_1,\beta-\beta')\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ (\beta_m,\beta_1)&\cdots&(\beta_m,\beta_m)&(\beta_m,\beta-\beta')\\ (\beta-\beta',\beta_1)&\cdots&(\beta-\beta',\beta_m)&(\beta-\beta',\beta-\beta') \ea}\\ &=\sev{\ba{cccc} (\beta_1,\beta_1)&\cdots&(\beta_1,\beta_m)&0\\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ (\beta_m,\beta_1)&\cdots&(\beta_m,\beta_m)&0\\ 0&\cdots&0&(\beta-\beta',\beta-\beta') \ea}\quad\sex{\sex{\beta-\beta',\beta_i}=0}\\ &=|\beta-\beta'|^2G(\beta_1,\cdots,\beta_m)\\ &=\rd^2(\beta,W)G(\beta_1,\cdots,\beta_m). \eea \eeex$$