[数学趣味002]抽象

时间:2021-11-18 09:55:38

抽象好可怕,好高深的感觉,让我们用这高射炮打打蚊子也不错………

1.问题:将下面每一组4个数经过加减乘除得到24.(是不是看上去很简单哦)

 (1)5,5,5,1;    (2)3,3,7,7;
 (3)4,4,7,7;    (4)3,3,8,8;

1 .第一反应就是5*5-1 = 24,可是少用一个5;

2.那么我们换个方向把左右2边恒等不变,但是又多一个5来呢?

3. 左右同时除5:

 (5*5 – 1 )/5 = 24 /5 
    (5 - 1/5)     = 24/5 
    (5 - 1/5) *5  = 24

同理:可得

(2)   (3*7+3)/7 = 24/7 ---> (3+3/7)*7 = 24

(3)   (4*7-4)/7 = 24/7----> (4-4/7)*7 = 24

最后一题:你也试下!!!!有点小坑!希望你能找规律……

这些就是规律,就和你知道了魔方的公式就可以轻松得到六面一样的道理,把相类似的事物总结出它们的共性的这个过程就是抽象

2.求证 (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 

这个公式我们早已背得滚瓜烂熟啦,还用得证明么,背出来的东西很枯燥,求出来的才会觉得它可爱有趣啦。

重回下中学时代:

(a - b)
2
 = (a - b)(a - b) %%定义
     = a(a - b) - b(a - b) %%分配律
     = (aa - ab) +(- ba + bb)%%分配律
     = a
2
- ab - ab +b
2
%%乘法交换律
     = a
2
-2ab + b
2
%%合并律

那么a,b是什么? 正数,负数,有理数,无理数,还是所有的任意数?

其实,我们在证明(抽象)的过程中没有说明,也就是说:只要有加减乘除,符合分配,交换,合并律的都是成立的,所以a,b甚至可以不是数

比如:a,b是向量,

[数学趣味002]抽象

ab2 = ca2 +cb2 – 2*ca*cb*cosc

一下就收获了余弦定理,把c置成90。又得勾股定理!

代数的公理就是运算律,许多看起来不相同的事,都是一回事。

不同事物--->共同规律------>广泛应用

最后小试下:求椭圆方程 x2/a2 + y2/b2 = 1 面积

1. 把椭圆先拉成一个圆横坐标不变,y 变成a/b*y,(x,y) ---->(x,a/b*y).  

2. 椭圆---->圆(方程)  x2/a2 + y2/b2 = 1   ----> 左右乘a2 ---->x2+(a2/b2)*y2 =a2 ------>所以只要y变成原来的a/b倍,那么就是一个半径为a的圆啦

3. S 为圆的面积 Pi*a2 = (a/b)*S  【拉伸了a/b倍】

4. S = (Pi*a2)(b/a) = Pi*a*b

 

经@玖疯指正:

为什么椭圆变成圆后是,面积也是成a/b的关系?

这是根据欧几里德面积射影定理的一个小推论,

可以把变形想像椭圆按一定的角度投影成这个圆(或反之,一个是缩小一个是扩大,看你爱好),然后面积关系根据这个推论【有兴趣可以查阅面积射影定理相关资料】就成立啦。