求三维空间三角形内切圆圆心坐标

    已知空间三角形ABC   顶点坐标分别为A(x1,y1,z1)     B(x2,y2,z2)      C(x3,y3,z3)

    求三角形ABC的内切圆的圆心坐标，也就是求三角形ABC的内心

    利用投影法投影到X-Y平面按二维平面做，这样会不会出错，如求出的内心跑到三角形外部了，有没有更好的方法编程求三角形内心坐标

3 个解决方案

#1

三角形三个点肯定在同一平面，所以不需要投影，可以直接计算，分两步解
1.求出内切圆与三角形的三个交点
2.三个交点的外心就是该三角形的内心

#2

搜“三维向量几何”？

#3

外心：

┏ ┃x1^2+y1^2  y1  1┃    ┃x1^2+y1^2  x1  1┃   ┓
┃ ┃x2^2+y2^2  y2  1┃   -┃x2^2+y2^2  x2  1┃   ┃
┃ ┃x3^2+y3^2  y3  1┃    ┃x3^2+y3^2  x3  1┃   ┃
┃  ━━━━━━━━━━,   ━━━━━━━━━━━   ┃
┃     ┃x1 y1 1┃             ┃x1 y1 1┃        ┃
┃    2┃x2 y2 1┃            2┃x2 y2 1┃        ┃
┗     ┃x3 y3 1┃             ┃x3 y3 1┃        ┛

内心：(d12,d23,d31为三边长)

┏x1*d23+x2*d31+x3d12   y1*d23+y2*d31+y3d12 ┓
┃━━━━━━━━━━━, ━━━━━━━━━━━┃
┗    d12+d23+d31            d12+d23+d31    ┛

重心：((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)
垂心：

┏ ┃x1y1  1  x1┃ ┃y1^2  1  y1┃  ┃x1y1  1  y1┃ ┃x1^2  1  x1┃  ┓
┃ ┃x2y2  1  x2┃+┃y2^2  1  y2┃  ┃x2y2  1  y2┃+┃x2^2  1  x2┃  ┃
┃ ┃x3y3  1  x3┃ ┃y3^2  1  y3┃  ┃x3y3  1  y3┃ ┃x3^2  1  x3┃  ┃
┃ ━━━━━━━━━━━━━━━━, ━━━━━━━━━━━━━━━━━   ┃
┃         ┃x1 y1 1┃                       ┃x1 y1 1┃            ┃
┃         ┃x2 y2 1┃                      -┃x2 y2 1┃            ┃
┗         ┃x3 y3 1┃                       ┃x3 y3 1┃            ┛

九点圆圆心：

┏ ┃x1^2-y1^2  y1  1┃  ┃x1  x1y1  1┃  ┃x1^2-y1^2  x1  1┃  ┃y1  x1y1  1┃  ┓
┃ ┃x2^2-y2^2  y2  1┃+2┃x2  x2y2  1┃  ┃x2^2-y2^2  x2  1┃-2┃y2  x2y2  1┃  ┃
┃ ┃x3^2-y3^2  y3  1┃  ┃x3  x3y3  1┃  ┃x3^2-y3^2  x3  1┃  ┃y3  x3y3  1┃  ┃
┃ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━, ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━   ┃
┃                ┃x1 y1 1┃                            ┃x1 y1 1┃            ┃
┃               4┃x2 y2 1┃                           4┃x2 y2 1┃            ┃
┗                ┃x3 y3 1┃                            ┃x3 y3 1┃            ┛

竖线括起来的都是三阶行列式。
当年上高中时自己推导的，现在已经不知道怎么推导的了。
这些都是二维的，内心和重心可以直接归纳出多维的公式，其它心就不知道怎么往上推广了。