已知直角坐标系3点p(a,b),m(c,d),n(e,f) 求三角形pmn面积
解：
无论三角形的顶点位置如何，△PMN总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示
而在直角坐标系中，已知直角梯形和直角三角形的顶点的坐标，其面积是比较好求的。
下面以一种情形来说明这个方法，其它情形方法一样，表达式也一样（表达式最好加上绝对值，确保是正值）
如图情形（P在上方，M在左下，N在右下），过P作X轴的平行线L，作MA⊥L，NB⊥L（设P在A、B之间）
则A、B的坐标是A(c,b)，B(e,b)
所以PA＝a－c,PB＝e－a,AM＝b－d,BN＝b－f,AB＝e－c
所以S△PMN＝S梯形AMNB－S△PAM－S△PBN
＝(b－d＋b－f)(e－c)/2－(b－d)(a－c)/2－(b－f)(e－a)/2
＝(ad＋be＋cf－af－bc－de)/2
(这就是http://baike.baidu.com/view/5670.html#8中用“行列式”表示三角形面积公式的展开式，用初中方法也可以得出这个结论。上面的解法在三个顶点位置变化时，严格讲要分别讨论解答，但在知道坐标的具体值的情形下，这种解答思路不论是何种情形，都是可以直接应用的)
果园里的树
果园里的树排列成矩阵。他们的x和y的坐标均是1~99的整数。输入若干个三角形，依次统计每个三角形内部和边界上共有多少棵树。
输入：
1.5 1.5 1.5 6.8 6.8 1.5
10.7 6.9 8.5 1.5 14.5 1.5
输出：
15
17
此题用三角形有向面积来解，求有向面积2倍的函数为：
double area(double x0,double y0,double x1,double y1,double x2,double,y2)
{
return x0*y1+x2*y0+x1*y2-x0*y2-x1*y0-x2*y1;
}
若求其面积，即没有方向的：则为fabs(S)/2;
可以用行列式来记住这个式子：
|x0 y0 1|
2S=|x1 y1 1|=x0*y1+x2*y0+x1*y2-x2*y1-x0*y2-x1*y0;
|x2 y2 1|
若三角形三个点按逆时针排列，则有向面积为正，否则为负。
对一个三角形ABC和平面上任意一点O：都有Sabc=Soab+Sobc+Soca;
判断点p是否在三角形内部或者是边界上的方法是：O点分出的三个三角形按oab，obc，oca的顺序得到的结果与原来的大三角形Sabc的同号或为0。
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double area(double x0,double y0,double x1,double y1,double x2,double y2)
{
return x0*y1 + x2*y0 + x1*y2 - x2*y1 - x0*y2 - x1*y0;
}
int main()
{
double x1,y1,x2,y2,x3,y3;
int x,y;
int count;
FILE *fp;
if(fp)
{
printf("the file open is failure\n");
return 1;
}
fp = fopen("5.4.3.txt","r");
while(fscanf(fp,"%lf %lf %lf %lf %lf %lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3) == 6)
{
// printf("x1 = %f, y1 = %f\n",x1,y1);
// printf("x2 = %f, y2 = %f\n",x2,y2);
// printf("x3 = %f, y3 = %f\n",x3,y3);
count = 0;
for(int i = 1; i < 100; ++i)
for(int j = 1; j < 100; ++j)
{
x = i;
y = j;
double s1,s2,s3,s;
s1 = fabs(area(x,y,x2,y2,x3,y3));
s2 = fabs(area(x1,y1,x,y,x3,y3));
s3 = fabs(area(x1,y1,x2,y2,x,y));
s = fabs(area(x1,y1,x2,y2,x3,y3));
if(fabs(s - s1 - s2 - s3) <= 1e-9)
count ++;
}
printf("%d\n",count);
}
return 0;
}