Bellman-Ford 算法及其优化

时间:2022-07-29 09:45:05

Bellman-Ford 算法及其优化

Bellman-Ford算法与另一个非常著名的Dijkstra算法一样,用于求解单源点最短路径问题。Bellman-ford算法除了可求解边权均非负的问题外,还可以解决存在负权边的问题(意义是什么,好好思考),而Dijkstra算法只能处理边权非负的问题,因此 Bellman-Ford算法的适用面要广泛一些。但是,原始的Bellman-Ford算法时间复杂度为 OVE,Dijkstra算法的时间复杂度高,所以常常被众多的大学算法教科书所忽略,就连经典的《算法导论》也只介绍了基本的Bellman-Ford算法,在国内常见的基本信息学奥赛教材中也均未提及,因此该算法的知名度与被掌握度都不如Dijkstra算法。事实上,有多种形式的Bellman-Ford算法的优化实现。这些优化实现在时间效率上得到相当提升,例如近一两年被热捧的SPFAShortest-Path Faster Algoithm 更快的最短路径算法)算法的时间效率甚至由于Dijkstra算法,因此成为信息学奥赛选手经常讨论的话题。然而,限于资料匮乏,有关Bellman-Ford算法的诸多问题常常困扰奥赛选手。如:该算法值得掌握么?怎样用编程语言具体实现?有哪些优化?与SPFA算法有关系么?本文试图对Bellman-Ford算法做一个比较全面的介绍。给出几种实现程序,从理论和实测两方面分析他们的时间复杂度,供大家在备战省选和后续的noi时参考。

Bellman-Ford算法思想

Bellman-Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图 G=V,E),其源点为s,加权函数 w 边集 E 的映射。对图G运行Bellman-Ford算法的结果是一个布尔值,表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若不存在这样的回路,算法将给出从源点s G的任意顶点v的最短路径d[v]

Bellman-Ford算法流程分为三个阶段:

(1)    初始化:将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

(2)    迭代求解:反复对边集E中的每条边进行松弛操作,使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离;(运行|v|-1次)

(3)    检验负权回路:判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点,则算法返回false,表明问题无解;否则算法返回true,并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

算法描述如下:

Bellman-Ford(G,w,s) boolean   //G ,边集 函数 w s为源点

1        for each vertex v ∈ V(G) do        //初始化 1阶段

2            d[v] ←+∞

3        d[s] ←0;                             //1阶段结束

4        for i=1 to |v|-1 do               //2阶段开始,双重循环。

5           for each edge(u,v) ∈E(G) do //边集数组要用到,穷举每条边。

6              If d[v]> d[u]+ w(u,v) then      //松弛判断

7                 d[v]=d[u]+w(u,v)               //松弛操作   2阶段结束

8        for each edge(u,v) ∈E(G) do

9            If d[v]> d[u]+ w(u,v) then

10            Exit false

11    Exit true

下面给出描述性证明:

   首先指出,图的任意一条最短路径既不能包含负权回路,也不会包含正权回路,因此它最多包含|v|-1条边。

   其次,从源点s可达的所有顶点如果 存在最短路径,则这些最短路径构成一个以s为根的最短路径树。Bellman-Ford算法的迭代松弛操作,实际上就是按顶点距离s的层次,逐层生成这棵最短路径树的过程。

在对每条边进行1遍松弛的时候,生成了从s出发,层次至多为1的那些树枝。也就是说,找到了与s至多有1条边相联的那些顶点的最短路径;对每条边进行第2遍松弛的时候,生成了第2层次的树枝,就是说找到了经过2条边相连的那些顶点的最短路径……。因为最短路径最多只包含|v|-1 条边,所以,只需要循环|v|-1 次。

每实施一次松弛操作,最短路径树上就会有一层顶点达到其最短距离,此后这层顶点的最短距离值就会一直保持不变,不再受后续松弛操作的影响。(但是,每次还要判断松弛,这里浪费了大量的时间,怎么优化?单纯的优化是否可行?)

如果没有负权回路,由于最短路径树的高度最多只能是|v|-1,所以最多经过|v|-1遍松弛操作后,所有从s可达的顶点必将求出最短距离。如果 d[v]仍保持 +∞,则表明从s到v不可达。

如果有负权回路,那么第 |v|-1 遍松弛操作仍然会成功,这时,负权回路上的顶点不会收敛。

 

 

 

例如对于上图,边上方框中的数字代表权值,顶点A,B,C之间存在负权回路。S是源点,顶点中数字表示运行Bellman-Ford算法后各点的最短距离估计值。

此时d[a]的值为1,大于d[c]+w(c,a)的值-2,由此d[a]可以松弛为-2,然后d[b]又可以松弛为-5,d[c]又可以松弛为-7.下一个周期,d[a]又可以更新为更小的值,这个过程永远不会终止。因此,在迭代求解最短路径阶段结束后,可以通过检验边集E的每条边(u,v)是否满足关系式 d[v]> d[u]+ w(u,v) 来判断是否存在负权回路。

二、基本 Bellman-Ford 算法的 pascal实现。

   bellmanford.pas 文件。

三、基本算法之上的优化。

分析 Bellman-Ford算法,不难看出,外层循环(迭代次数)|v|-1实际上取得是上限。由上面对算法正确性的证明可知,需要的迭代遍数等于最短路径树的高度。如果不存在负权回路,平均情况下的最短路径树的高度应该远远小于 |v|-1,在此情况下,多余最短路径树高的迭代遍数就是时间上的浪费,由此,可以依次来实施优化。

从细节上分析,如果在某一遍迭代中,算法描述中第7行的松弛操作未执行,说明该遍迭代所有的边都没有被松弛。可以证明(怎么证明?):至此后,边集中所有的边都不需要再被松弛,从而可以提前结束迭代过程。这样,优化的措施就非常简单了。

设定一个布尔型标志变量 relaxed,初值为false。在内层循环中,仅当有边被成功松弛时,将 relaxed 设置为true。如果没有边被松弛,则提前结束外层循环。这一改进可以极大的减少外层循环的迭代次数。优化后的 bellman-ford函数如下。

 

 

function bellmanford(s:longint):boolean;

     begin

        for i:=1 to nv do

          d[i]:=max;

        d[s]:=0;

        for i:=1 to nv-1 do

         begin

         relaxed:=false;

          for j:=1 TO ne do

          if(d[edges[j].s]<>max) and (d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w)

               then begin

d[edges[j].e]:=d[edges[j].s]+edges[j].w ;

relaxed:=true;

                         end;

                if not relaxed then break;

end;

        for i:=1 to ne do

          if d[edges[j].e]>d[edges[j].s]+edges[j].w then exit(false);

        exit(true);

     end;

这样看似平凡的优化,会有怎样的效果呢?有研究表明,对于随机生成数据的平均情况,时间复杂度的估算公式为

1.13|E|                    if |E|<|V|

0.95*|E|*lg|V|              if |E|>|V|

优化后的算法在处理有负权回路的测试数据时,由于每次都会有边被松弛,所以relaxed每次都会被置为true,因而不可能提前终止外层循环。这对应了最坏情况,其时间复杂度仍旧为O(VE)

优化后的算法的时间复杂度已经和用二叉堆优化的Dijkstra算法相近了,而编码的复杂程度远比后者低。加之Bellman-Ford算法能处理各种边值权情况下的最短路径问题,因而还是非常优秀的。Usaco3.2.6 的程序见bellmanford_1.pas

四、SPFA 算法

   SPFA是目前相当优秀的求最短路径的算法,值得我们掌握。

   SPFABellman-Ford算法优化的关键之处在于意识到:只有那些在前一遍松弛中改变了距离估计值的点,才可能引起他们的邻接点的距离估计值的改变。因此,用一个先进先出的队列来存放被成功松弛的顶点。初始时,源点s入队。当队列不为空时,取出对首顶点,对它的邻接点进行松弛。如果某个邻接点松弛成功,且该邻接点不在队列中,则将其入队。经过有限次的松弛操作后,队列将为空,算法结束。SPFA算法的实现,需要用到一个先进先出的队列 queue 和一个指示顶点是否在队列中的 标记数组 mark。为了方便查找某个顶点的邻接点,图采用临界表存储。

   程序存储在 spfa.pas中。以usaco 3.2.6 试题2为例。用邻接表写的程序。

   需要注意的是:仅当图不存在负权回路时,SPFA能正常工作。如果图存在负权回路,由于负权回路上的顶点无法收敛,总有顶点在入队和出队往返,队列无法为空,这种情况下SPFA无法正常结束。

判断负权回路的方案很多,世间流传最广的是记录每个结点进队次数,超过|V|次表示有负权

还有一种方法为记录这个结点在路径中处于的位置,ord[i],每次更新的时候ord[i]=ord[x]+1,若超过|V|则表示有负圈.....

其他方法还有很多,我反倒觉得流传最广的方法是最慢的.......

 

关于SPFA的时间复杂度,不好准确估计,一般认为是 OkE),k是常数

 

五、时间效率实测

上述介绍的Bellman-Ford算法及两种的优化,只是在理论上分析了时间复杂度,用实际的数据测试,会有什么结果呢?为此,我们选择 usaco 3.2.6

Spfa的时间效率还是很高的。并且spfa的编程复杂度要比Dijksta+heap优化要好的多。

六、结论

经过优化Bellman-Ford算法是非常优化的求单源最短路径的算法,SPFA时间效率要优于第一种优化形式,但第一种优化形式的编码复杂度低于SPFA。两种优化形式的编程复杂度都低于Dijkstra算法。如果在判断是否存在负权回路,推荐使用第一种优化形式,否则推荐使用SPFA

 

 

据说,有时候用栈来实现SPFA,速度会比用队列快。