字符串匹配--KMP算法

1、朴素字符串匹配
首先，先说一下最简单的字符串匹配算法。
如果主串是S=”abcdefgab”,我们要匹配T=”abcdex”.
那么最简单的匹配是：

abcdefgab
abcdex
|
abcdefgab
 abcdex
|
abcdefgab
  abcdex
|
abcdefgab
   abcdex

这里我们可以看到，这样一步一步的匹配，时间复杂度太高。
这个例子中，字符串T中第一个字符’a’和T中除第一个字符之外的字符都不相等。从第一步比较中：
abcdefgab
abcdex
我们可以看到红色的在第一次比较的时候已经比较过，且和T串对应位置相等，那么’a’和T串中的”bcde”不相等，也就是和S串中的”bcde”不相等。这样我们经过第一比较之后，下一次就可以直接跳到如下步：

abcdefgab
     abcdex

2、KMP算法
现在我们来看另一个例子：主串是S=”abcabcabc”,我们要匹配T=”abcabx”.
根据上面的方法，我们得到下面的步骤：

i=123456789
  abcabcabc
  |||||
  abcabx
j=     6
i=123456789
  abcabcabc
     ||
     abcabx
j=     3

这里我们可以发现，因为T字符串的“abcab”这个字符串中前缀”ab”和后缀“ab”相等，又第一次比较的时候，T字符串的“abcab”这个字符串中后缀”ab”和S字符串中“abcab”的后缀“ab”已经比较过，且相等，那么T字符串中前两个字符”ab”也不再需要和S串中后两个”ab”进行比较，直接从字符’c’开始比较即可。

第一次比较，主串比较到了第6个字符（i=6）’c’时，和T串对应位置（j=6）不相等。第二次我们继续从i=6处开始比较，此时对应的T串是第三个字符，即j=3。这里我们保证了i值是不回溯的，即i值不可以变小在比较过程中。

这就是KMP算法，我们这里一直提到的字符串T的前缀后缀，都是针对字符串T和主串S没有关系，所以这里的j值变化与主串也没有什么关系，而是取决于T串的结构中是否有重复的字符串。如上”abcab”,有前缀和后缀”ab”,因此j=6–>j=3。所以KMP算法就是先对T字符串做一次预处理，即求出下面的next数组，然后根据next数组来进行匹配，加快的匹配的速度。

我们把T串的各个位置的j值变化定义为一个数组next，next的长度就是串的长度。下面是函数的定义。（这里数组第一个元素是，next[1]）
字符串匹配--KMP算法
next[j]就是表示为，当被匹配字符串前j-1个字符和主串匹配，第j个字符和主串不同时，下一次比较，直接从被匹配子串的第next[j]和主串的第i个字符开始比较。当没有前后缀时，每次下移一位。
next数组的推导
例子：
字符串匹配--KMP算法

前面写的比较乱，下面小结一下前面的内容。

我们首先用一个图来描述kmp算法的思想。在字符串O中寻找f，当匹配到位置i时两个字符串不相等，这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位，但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实，所以效率不高。事实上，如果我们提前计算某些信息，就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位，我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论：

A段字符串是f的一个前缀。
B段字符串是f的一个后缀。
A段字符串和B段字符串相等。

字符串匹配--KMP算法
所以前移k位之后，可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足：长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样，我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。

所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字符串的前缀和后缀公共部分的最大长度（不包括字符串本身，否则最大长度始终是字符串本身）。获得f每一个位置的最大公共长度之后，就可以利用该最大公共长度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时，我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位，接着继续比较下一个位置。事实上，字符串f的前移只是概念上的前移，只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。

借用一下别人的图：
字符串匹配--KMP算法

这里会有点疑问是：为什么找到前后缀，下次直接就将前缀移动到后缀的位置，然后从前缀下一个字符开始匹配，蓝色的部分如果也出现和前缀一样的字符怎么办？这里我们可以举一个例子：
假设前缀是A，后缀是A，那么
主串：A[蓝色部分]A[主串剩下部分]
匹配串：A[蓝色部分]A[匹配串剩下部分]。
为解决上面的疑问，假设蓝色部分也有A，假设蓝色部分是：XAY

AXAYA[主串剩下部分]
AXAYA[匹配串剩下部分]

可以看到，有两种情况X=Y，X！=Y。
X！=Y：所以我们不用在和蓝色部分比较，直接和后缀部分比较，即：

AXAYA[主串剩下部分]
AXAYA[匹配串剩下部分]

X=Y：这时AXAYA=AXAXA，此时前缀是AXA，后缀是AXA，因此

AXAXA[主串剩下部分]
AXAXA[匹配串剩下部分]

还是前缀和后缀部分比较。此时蓝色部分不存在了。
因此蓝色部分不用比较。

代码实现：
理解了kmp算法的基本原理，下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点，next数组表示的是长度，下标从1开始；但是在遍历原字符串时，下标还是从0开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i]，分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度，现在要求next[i+1]。由下图我们可以看到，如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同（下标从零开始），则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同，我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割，获得其最大公共长度next[next[i]]，然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造，如果位置next[next[i]]和位置i的字符相同，则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等，就可以继续分割长度为next[next[i]]的字符串，直到字符串长度为0为止。
这里我们可以举个例子：T=“A1xA2yz”，A1，A2是字符串，A1=A2，此时比较到y!=x，因为Ai也是一个字符串因此也可以分割为前缀和后缀，设A1=A2=BHB，那么

 123456789
A1xA2yz=BHBxBHByz

检测到S[i]!=S[j]时,j=4,i=8.但是因为x,y前面的A是相等的，故A1的前缀和A2的后缀也相等，故可以直接用之前的next数组的值另j=next[j]，即为A1中H的第一个字符的位置。
字符串匹配--KMP算法

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;

//计算next数组
vector<int> get_next(string S)
{

int i = 0, j = -1;
//这里我假设next[0]=-1
vector<int> vec(S.size(),-1);
while (i < S.size()-1)
    {
//S[i]表示后缀中单个字符，S[j]表示前缀中单个字符
//j==-1时，表示要从头比较，即vec[i]=0
if (j == -1|| S[i] == S[j]) 
        {
            ++i;
            ++j;
            vec[i] = j;
        }
else
//若字符不相同，则j的值回溯。
            j = vec[j];
    }
return vec;
}

int kmp(string T, string S, int pos)
{
int i = pos;
int j = 0;
vector<int> vec;
    vec = get_next(S);
while (i < T.size() && j < S.size())
    {
if (j == -1 || T[i] == S[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
else
            j = vec[j];
    }
if (j >= S.size())
    {
return i - S.size();
    }
else
return 0;
}
int main()
{
string T = "abcabcabx", S = "abcabx";
int p = kmp(T, S, 0);
cout << p << endl;
}

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