给定一个字符串 s 和一个要匹配的模式串 p。模式串 p 有可能在 s 中多次出现,请求出模式串 p 在 s 中所有出现的起始位置。
暴力匹配算法 BF
算法思路
在面对字符串匹配问题时,很容易想到暴力求解。字符串匹配的暴力算法思路很简单,即在 s 中枚举起点 i,对于每个起点匹配字符串 p。
大致步骤为:
(1) 枚举起点i,定义一个状态值flag = true 以及 k = i,j = 0;
(2) 如果 s[k] == p[j],就继续k++, j++; 如果 s[k] != p[j],就将flag置flase,并break;
(3) 对于每个起点 i ,如果flag = true,就输出位置 i 。
暴力算法代码
这里输入字符串下标从1开始,与后文相统一。
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
static const int N = 1000010, M = 100010;
char s[N], p[M];
int slen, plen;
int ne[N];
int main(){
cin >> plen >> p + 1 >> slen >> s + 1;
for(int i = 1; i <= slen - plen + 1; i++){
bool flag = true;
for(int j = 1, k = i; j <= plen; j++, k++){
if(s[k] != p[j]){
flag = false;
break;
}
}
if(flag) printf("%d ", i);
}
}
KMP算法
KMP算法的含义
KMP算法是一种改进的字符串匹配算法,是由D.E.Knuth,J.H.Morris和V.R.Pratt提出的,所以简称KMP算法。其算法核心是在匹配失败后利用next数组记录的信息来一定程度上减少匹配次数,以此提高字符串匹配的效率。
KMP算法涉及的基本概念
(1)s 为模板字符串;
(2)p 为模式串,即需要在 s 中匹配的字符串;
(3)公共前后缀:假定一个字符串的长度为len且下标从1开始,若字符串中范围[1, i]和范围[j, len]完全匹配,则称这两段为此字符串的公共前后缀;
(4)next 数组:next 数组是KMP算法的核心,next[i] 记录的是模式串 p 中前 i 长度范围内的最长公共前后缀长度,后文会做详解。KMP算法在进行字符串匹配时若出现失配,模式串 p 可以根据 next 数组记录的信息进行等价的后移。
(5)两大核心步骤:
1、求解 next 数组
2、进行字符串匹配
注意字符串的下标从 1 开始,并且在匹配过程中每次将 s[i] 和 p[i + 1] 进行比较。
KMP算法的匹配思路
KMP算法匹配核心图解
红色虚线所标注的范围内为当前已经匹配的部分,红色空心圆圈为当前比较的两个字符。
KMP算法匹配举例及图解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
此时出现了失配,需要将j = next[j]。
(8)
容易发现在 p 中前 6 长度的最长公共前后缀长度为2,j = next[6] = 2。
(9)
相当于模式串 p 整体向右移动了之前的 j - next[j] 的长度再开始匹配。
(10)
此时再次出现了失配,需要将 j = next[j]。
(11)
模式串 p 中前 2 长度的最长公共前后缀长度为0,j = next[2] = 0*。
(12)
相当于模式串 p 整体向右移动了之前的 j - next[j] 的长度再开始匹配。
(13)
以当前 s[i] 这个字符为起点匹配模式串 p 成功。(前面省略了一些)
KMP算法匹配核心代码
//匹配操作
for(int i = 1, j = 0; i <= n; i++){
//失配整体移动之后可能依旧失配,故用while
while(j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
//当前两个字符匹配
if(s[i] == p[j + 1]) j++;
if(j == m) {
printf("%d ", i - m + 1); //返回匹配起始位置
j = ne[j]; //可能存在多个位置匹配,继续匹配
}
}
next数组详解
next数组的含义及求解
next[i] 记录的是模式串 p 前 i 长度范围内最长公共前后缀的长度。例如字符串 ABDAB,可以发现此字符串前 4 长度的最长公共前后缀为 A,那么对于这个字符串,next[4] = 1;同理此字符串前 5 长度的最长公共前后缀为 AB,所以 next[5] = 2。
next 数组的求解和上文中字符串匹配的过程非常相近,相当于是自己与自己进行匹配。将其中一个 p依旧作为模式串,将另一个 p 视作字符串,并将其从下标2开始与模式串 p 进行匹配。
next数组核心图解
红色虚线所标注的范围内为当前已经匹配的部分,红色空心圆圈为当前比较的两个字符。
(1)求解next数组当前字符匹配
(2)求解next数组当前字符失配
next数组举例及图解
(1)
(2)
(3)
(4)
此时出现字符匹配
(5)
此时出现字符匹配
(6)
此时出现字符匹配
(7)
求解next数组完成
next数组核心代码
//求next[]数组
for(int i = 2, j = 0; i <= m; i++){
//当前字符不匹配
while(j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if(p[i] == p[j + 1]) j++;
//记录前i长度最长公共前后缀长度j
ne[i] = j;
}
字符串下标以及next数组如此定义的原因
上文中字符串下标都从 1 开始,要实现也不难,C/C++从1开始输入即可,其他语言例如python,先插入一个字符即可。下标从 1 开始主要也是和next数组的定义有关。next数组记录的是模式串 p 中一定范围内的最长公共前后缀的长度,如果下标从0开始,这个KMP算法模板也可以进行,但是需要将next[0]置-1,而且求得的next数组有些违背本身的含义(变成记录的是前i下标最长公共前后缀长度-1)。
以下是下标从0开始的KMP算法模板:
int main(){
cin >> m >> p >> n >> s;
ne[0] = -1;
for (int i = 1, j = -1; i < m; i ++ ){
while (j >= 0 && p[j + 1] != p[i]) j = ne[j];
if (p[j + 1] == p[i]) j ++ ;
ne[i] = j;
}
for (int i = 0, j = -1; i < n; i ++ ){
while (j != -1 && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if (s[i] == p[j + 1]) j ++ ;
if (j == m - 1){
cout << i - j << ' ';
j = ne[j];
}
}
//输出next数组
//cout<<endl<<"next[]: "<<endl;
//for(int i = 0; i < m; i++) cout<<ne[i]<<' ';
}
以下是上述下标从0开始模板求得的next数组结果:
可以看出求得next数组记录的值恰好为前i下标最长公共前后缀长度-1。
完整程序
完整程序代码
#include<iostream>
using namespace std;
static const int N = 1000010, M = 100010;
char s[N], p[M];
int slen, plen;
int ne[N];
int main(){
cin >> plen >> p + 1 >> slen >> s + 1;
for(int i = 2, j = 0; i <= plen; i++){
while(j && p[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if(p[i] == p[j + 1]) j++;
ne[i] = j;
}
for(int i = 1, j = 0; i <= slen; i++){
while(j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];
if(s[i] == p[j + 1]) j++;
if(j == plen){
cout<<i - plen + 1<<' ';
j = ne[j];
}
}
//输出next数组
//cout<<endl<<"next[]: "<<endl;
//for(int i = 1; i <= plen; i++) cout<<ne[i]<<' ';
}
程序运行测试
后记
网上大部分KMP的写法与我写的这篇随笔中不太相同,next数组的定义也不太一样。我所记录的是我自己认为最好理解的KMP算法的写法,没有任何贬低其他写法的意思喔????,也许各有各的好处。