noip2006 2^k进制数 （组合数学）

时间：2022-12-16 13:40:49
P13152^k进制数Accepted 标签：组合数学数论NOIP提高组2006

描述

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2^k 进制数。

（2）作为2^k 进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。

（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。

在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k＜W≤30000）是事先给定的。

问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”m组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2^k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。

例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（23=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。

3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。

所以，满足要求的r共有36个。

格式

输入格式

输入文件只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k W

输出格式

输出文件为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。

（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

样例1

样例输入1[复制] 

3 7

样例输出1[复制] 

36

限制

1s

来源

NOIP2006第四题

解析：摘自hzwer：

        

题目中的那个从另一角度分析就已经蕴含了这个题的基本思路。就以题目的例子为例，长度为7位的01字串按3位一段就这样分：0 000 000。其中除了首段，每段都小于(111)2，也即小于2k，而首段自然是小于2w%k（对于w%k为0时也成立）了。

    如果首段为0，则当这个2k进制数位数分别为2、3、…、[n/k]时，如果用b_max表示2k，对应的解的个数分别为C[b_max-1][2]、C[b_max-1][3]、…、C[b_max-1][n/k]（C[i][j]表示从i个数里选j个构成一组组合）。

    如果首段不为0，设首段为x，则解就有c[b_max-x-1][n/k]个。

    这样，求解的个数就搞定了，剩下的活就是高精了。求组合数可以用这个公式：C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m]，这样高精就只用加法了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn1 200
#define maxn2 1000
using namespace std;

int ans[maxn1+20];
int f[maxn2+100][maxn1+20];

void add(int a[],int b[])
{
  int i,j,k,last=0;
  a[0]=max(a[0],b[0]);
  for(i=1;i<=a[0];i++)
    {
      a[i]+=b[i]+last;
      last=a[i]/10,a[i]%=10;
    }
  if(last>0)a[++a[0]]=last;  
}

int main()
{
  int i,j,k,x,y,w;
  scanf("%d%d",&k,&w);
  if(w<=k){printf("0\n");return 0;}

  y=(1<<k)-1;
  if(w%k==0)x=y,k=w/k-1;
  else x=(1<<(w%k))-1,k=w/k;

  f[1][0]=1,f[1][1]=1;  
  ans[0]=0;

  for(i=1;i<=y;i++)
    {
      for(j=i+1;j>=1;j--)
    add(f[j],f[j-1]);
  if(i>=y-x && i<y)add(ans,f[k+1]);  
    }
  for(i=3;i<=k+1;i++)add(ans,f[i]);
  for(i=ans[0];i>=1;i--)printf("%d",ans[i]);
  printf("\n");  
  return 0;
}
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