最小项表达式和最大项表达式的转换

最小项表达式和最大项表达式的转换

一：通过公式推导

**我们设 i 表示一个集合，$m_i$ 在这个集合中取 1，$M_i$ 在这个集合中取 0 **

并且约定将 i 的补集表示为 $\neg i$

下表中的 val 为集合 i 取 1 时对应的最小项和最大项的值

input	min term	min designation	val	max term	max designation	val
0 0 0	a’b’c’	$m_0$	0	a+b+c	$M_0$	1
0 0 1	a’b’c	$m_1$	1	a+b+c’	$M_1$	0
0 1 0	a’bc’	$m_2$	0	a+b’+c	$M_2$	1
0 1 1	a’bc	$m_3$	0	a+b’+c’	$M_3$	1
1 0 0	ab’c’	$m_4$	0	a’+b+c	$M_4$	1
1 0 1	ab’c	$m_5$	0	a’+b+c’	$M_5$	1
1 1 0	abc’	$m_6$	0	a’+b+c	$M_6$	1
1 1 1	abc	$m_7$	0	a’+b’+c’	$M_7$	1

$$\begin{gathered} \sum _i{m}_i=1-\sum _{i=\neg i}{m}_i=\prod _{i=\neg i}{M}_i \\ \prod _i{M}_i=1-\sum _i{m}_i=\sum _{i=\neg i}{m}_i \end{gathered}$$

由此表也可以看出，公式的左右两端计算出的值都是 1 ，而且不遗漏

二：如何理解

我们设 i 表示一个集合，$m_i$ 在这个集合中取 1 ，$M_i$ 在这个集合中取 0

并且约定将 i 的补集表示为 $\neg i$

1. ${\sum }_{i}mi={\prod }_{\neg i}{M}_i$

对于 ${\sum }_i{m}_i$ 来说，它表达的意思是表达式取 1，而我们知道 ${\prod }_{i}Mi=\neg {\sum }_i{m}_i$ （德摩根定律），观察 ${\prod }_{\neg i}{M}_i$ ，我们发现要使 $\neg i$ 上的 $M_i$ 同时发生（与的含义），只有 ${\sum }_i{m}_i$ 这一种情况满足。

举例来说：

当集合 i = 1 时，${\prod }_{\neg i=1,2,3,4,5,6,7}{M}_i=1$ 只有在取 $m_1=1$ 时成立，因为只有 a’b’c 这个输入组合才能让 ${\prod }_{\neg i=0,2,3,4,5,6,7}{M}_i=1$ 的每一个最大项取到一个成立的值。

具体来说，i = 0, 2 可以取 c , i = 3 可以取 b’ , i = 4, 5, 6, 7 可以取 a’ 。

而如果我们取 $m_2=1$ 我们会发现 $M_2=1$ 无法成立，因此 ${\prod }_{\neg i=0,2,3,4,5,6,7}{M}_i=1$ 无法成立。

2. ${\prod }_i{M}_i={\sum }_{\neg i}{m}_i$

与上面的例子说明类似，这里就不重复了